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建立一个函数研究地下空腔对于地面地震运动的影响，需考虑空腔的大小、其埋深、激励的频率成分、（地震波）入射角以及到空腔本身对称轴的距离. Rayleigh方法的一个简单的应用使我们能够确定在工程目的关注的频率范围内，地面响应主要是由空腔至地表的土壤部分的基本振型控制. 给出了一个关于空腔埋深的简单函数关系，用于估计基本固有频率. 最后，得到了反应谱的放大系数，提供了一个在实际地震中分析地下腔体对地面运动的影响的实用见解.SH波动下地下洞室群对于地面地震运动的影响
C. Smerzini[1],lowast;,dagger;， J. Avilacute;es2，R. Paolucci3，F. J. Sacute;anchez-Sesma4
（1. IUSS帕维亚ROSE学院地震工程与工程地震学学院，意大利 帕维亚 费拉塔 27100；
2. 墨西哥国立技术学院，墨西哥；3. 米兰理工学院结构工程学，意大利 米兰 20133；
4. 墨西哥国立自治大学大学国际研究所，墨西哥 04510）
摘 要: 提出了一种理论方法研究反平面地下结构的地震反应，地震反应处于平面波和柱面波的发生范围内. 地下结构被认为是一个圆状腔体嵌入在一个均匀、各向同性和线性粘弹性半空间中. 不失一般性地，腔体既可以由一个带有或不带环状边界的空腔组成，或者它可能由某种线性弹性材料填充组成. 此（模型的）解析解通过在Bessel和Hankel函数的条件中使用的波函数展开式获得，依靠镜像法同时使用格拉夫的加法定理强制边界条件.
关键词：SH波传播解析解；地下腔体；Rayleigh法；反应谱放大系数
DOI：10.1002/eqe.912
引 言
普遍认为，由于存在地面或地下的不规则，可能出现明显的地震地面运动的放大. 虽然许多研究在由山谷和地形的影响上有一定的进展，同时在抗震规范中也有体现（见欧洲规范第8章第5部分[1]），但是理解和量化地下不规则的影响，例如深埋的腔体或隧道，依然处于一个探索阶段. 同样，天然的或人造的地下障碍的识别和表征，例如腔体或油藏，对于地下物探调查成为了一个挑战性的问题.
在Pao和Mow[2]开创性的工作中，他们研究了嵌于理想的半无限空间的圆柱体中的SH弹性波的衍射及动应力集中. 后来，其他作者[3,4]考虑了在半无限介质中圆柱腔体的弹性波的散射. Dravinski[5,6]提出了详细的文献综述对地下不规则引起的弹性波散射，同时Lee和其同事进行了系统的研究，首先分析了处于SH波入射平面下的由腔体或隧道引起的散射波场，接着概括其为三维弹性衍射及SV波与P波入射. 最后，研究了表面和地下腔体（或隧道）的交互作用(例如峡谷或山谷)及其对地面运动的影响[12].
本文的第一个目的是在能够考虑平面波及柱面SH波入射下，提供一个综合分析框架，以评估由于地下腔体所引起的地震地面运动的变化. 对问题进行建模时，将地下不规则截面简化为一个理想的嵌入在一个均匀、各向同性和线性粘弹性半空间中的圆形腔体. 此问题的解决方法，由Avilacute;es和Mora-Orozco[13]首次提出，从通过定义一组合适的圆柱坐标开始. 每个参考系统中，衍射或折射波场由通过分离变量的方法得到的系列Bessel和Hankel函数所表示. 使用边界条件，利用Graf加法定理[14]，使我们能够得到精确解. 这个解决方法类似于Lee与Trifunac[8], Avilacute;es与Sacute;anchez-Sesma[15]等人[12]提出的方法. 然而，与前人工作相反，此方法的解决方案是足够适用的，其不仅可以处理各种深埋障碍，从腔体到弹性夹杂，而且适用于不同类型的激励. 对于后面一点，依靠一个适当的正规化方法可证明在入射平面的响应和柱面波之间存在精确渐近等价解.
第二个目的是提供定量方法，用以估计在地下腔体上的地面运动的地震放大效应. 就目前可阅读到的文献而言，尽管在过去30年，对于嵌入腔体的动态响应这一问题提出了一些闭合解，但迄今只有非常有限的工作，将理论解应用到了实际工程中.
我们所做的工作如下：我们首先提出平面SH波冲击圆形夹杂的数学模型，接着将其推广到点源柱面波的情况下. 在时域和频域以参数的方式提供了一些具有代表性的数值结果，显示其对夹杂（墙体，隧道或弹性夹杂）类型、它的嵌入深度、输入波场的频率成分及观察点到对称轴的距离的相关性. 最后，在提出地下腔体上的地面运动传递函数峰值的物理解释之后，通过Rayleigh法一个简单的应用，对反应谱放大系数进行了标定并说明了一些实际参数的设置.
数学模型
简化的数学模型如图1所示. 其由一个圆形截面半径为ac的嵌于均质各向同性的线性粘弹性半空间内的圆柱夹杂组成. 这个夹杂内部可以是空的（即腔体），或者由线性粘弹性材料填充（及弹性夹杂），或者其横截面可能包含一个变厚度的环形边界，且在半空间中有不同弹性特性（即线形隧道），如图1a所示. 根据图1中所使用的符号，半空间由符号S表示，而内部深埋区域由C表示. 两个参考系统叠加如图1所示，前者位于自由表面且与夹杂中心间距离为L，后者在夹杂中心且深度为H. 由于自由表面和夹杂的存在入射波会发生多次散射和衍射. 在SH平面波入射的假设下，半空间里总的波场位移ws是一个标量且必须满足简化波动方程，即Helmholtz方程：
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(1) |
其中
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图1 (a)此项研究中所考虑的不同的深埋结构；(b)数学模型示意图；(c)镜像法
其中是半空间的复合剪切波速，其质量密度、剪切模量及质量因数分别由rho;c，mu;c和Q给出，ks为与剪切波关联的波数.
根据弹性波衍射理论[2]，波场ws为半空间中的几个波场的叠加结果：在没有异常C下由入射和反射波场给出的自由波场；由障碍物表面引起的衍射波场和由夹杂镜像（见图1(c)示意图）表面引起的衍射波场. 如下
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(2) |
如果入射波场由一列SH面波表示，在z方向极化，则自由场为
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(3) |
其中，为入射角. 从这里开始，时间谐波因数eiomega;t是不言自明的，且波场是关于输入位移幅值ws正规化的. 由夹杂及其镜像引起的衍射场由要求解的式(1)利用分离变量法求得如下
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(4) (5) |
其中是第二类Hankel函数，且当序数mne;0时，当序数m=0时.式(4)(5)的展开式在y=1且Sommerfel辐射条件为无限时满足应力-自由条件. 另一方面，位移波场在夹杂中折射时其可表达为
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(6) |
其中，是序数为m的第二类Bessel函数.
式中未知系数Am与Bm，Cm与Dm，决定于根据位移连续及土与夹杂处的应力确定的边界条件，如下
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(7) |
需注意的是，Cm与Dm并没有那么重要，因为我们主要是为了再现地面运动. 在式(7)之后是一个夹杂与周围介质完美边界的假设.
求解方法
模型的精确解由边界方法得到，此方法涉及依据柱面波函数确定的入射和反射的SH波的级数展开，以及任意两个参考系统的坐标变换. 为此，依据由式(2)给出的极坐标变换表达全部的波场较为方便. 首先，表达入射和反射场为使用通过Neumann级数得到的柱面波级数，如下
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(8) |
从而自由场有如下形式
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(9) |
式中εm为Neumann系数（m=0时εm=1，其他情况εm均等于2）. 注意式(8)中的正负号分别表示入射波场（w(i)）和反射波场（w(r)）.
最后，衍射波场可依据Graf加法定理极坐标变换（详见附录A），得到
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