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序列多阶段过程的网络DEA模型
摘要：本文提出了一个一般性的处理多阶段效率估计的网络DEA方法。该方法适用于先估计各个阶段的效率值，然后再度量整体系统的效率的组合范式。此外，本文采用多目标规划模型，不仅能得到准确、无偏的效率值，若有需要，该模型还可以使效率评估有效地符合特定的优先级的阶段。对比文献中的乘法分解方法发现网络DEA模型的优势以及一些在使用乘法效率分解时的注意点。
关键字：数据包络分析，网络DEA，多阶段过程，模型结构
数据包络分析(DEA)是一种以线性规划的数学模型为基础的对于多个投入和产出变量进行非参数估计的模型。其中两个基本的DEA模型即CCR和BCC模型，分别是规模性效益不变和规模效益可变的标准度量模型。传统DEA模型将生产过程作为单一阶段来评价，从而未能考虑内部结构的研究。而网络DEA模型中提出了多阶段效率估计,认为中间阶段的度量在整体的效率评估起着关键作用。Fauml;re和Grosskopf是最早研究多阶段效率估计,并定义为网络动态DEA分析模型。Castelli et al.对不同的多阶段生产配置的模型方法提出了全面的分类概述。Kao根据网络结构和应用模型的类型，提出了一个全面的网络DEA模型的分类。在现存文献中，较为广泛的研究主要在于序列多阶段生产和并行生产过程这两个特征过程配置。而后者是超出了本文的研究范围,读者可以参照[9,12,13-15]了解一些并行生产和序列多阶段生产过程之间的联系。本文主要研究序列多阶段生产过程。最初的两阶段生产效率估计方法的是由Kao和Hwang提出的乘法分解法和Chen et al.提出的加法分解方法。这两种方法都是基于合理的假设,并且在一些文献中进行结合后，无论中间变量是作为第一阶段的产出或第二阶段的投入，其使用的权重都是一样的。Liang et al.和Cook et al采用博弈论的概念研究了两阶段效率分解估计。Zhou et al.在研究简单的两阶段效率分解估计时得到了纳什均衡。Li et al.在第二阶段加入额外的投入变量，采用参数方法基于乘法模型评估效率。Kao et al.运用多目标规划的网络DEA方法进行效率评估。关于多阶段序列生产过程的延伸研究参考[2,12,15,16]。最近，Despotis et al.介绍了两阶段网络DEA的组合范式。与效率分解方法不同，合成方法先进行两个阶段的效率估计，后获得决策单元的整体效率。这种评估方法相较加法和乘法模型的主要优势在于前者在两阶段过程中都提供了唯一的、无偏的效率值。然而,其缺点是在多阶段系列流程中不易被扩展，其原因在于为了简化模型和领域内保持线性规划，在第一阶段和第二阶段的径向选择不同，实际上以通用性为代价的简易化。
本文提出了一种多目标规划的方法来扩展通用系列多阶段过程的组合范式。在保持方法的简易化的基础上，本文的模型改善了缺乏普遍性的问题，使模型和解决方案可以处理各种类型的系列多阶段生产过程。相比乘法方法本文所提出的新方法更加合理和丰富，此外在一定程度上使我们在使用乘法分解方法能关注到一些需要改进的问题。与加法和乘法分解方法不同，本文的新方式保证了效率值的唯一性，此外该效率评估是中性的，在一定意义上对其他阶段没有隐式的假设优先。
本文的结构如下。第二章主要研究两阶段过程分析。我们确定四个不同类型的过程,涵盖所有可能的配置。在2.1节假设除了第一阶段的外部投入变量进入生产系统中；除了第二阶段的产出变量没任何其他变量离开系统，对初级的两阶段过程展开详细建模方法。对本文的新方法与乘法方法进行全面的比较，突出前者的优点并指出后者的缺陷特征。在2.2-2.4节，我们同样的方法应用于其他两阶段配置。当数据由文献中可得时，比较本文模型与其他方法所获得的结果。否则，本文为读者提供模拟数据和相应的结果进行测试和验证。第三章节，本文扩展公式为一般多阶段过程。第四章为全文总结。
2 两阶段模型
本节主要研究两阶段网络DEA方法。本文遵循[8]中介绍的模型。在该模型中，与分解方法不同，进行各阶段效率估计之前，未对系统的整体效率进行优先的估计。一旦各阶段的效率估计后,通过加法或乘法方式聚合阶段效率值计算整体效率结果。我们考虑所有可能的两阶段过程的四种类型，如图1中所示。
让我们介绍一下以下基本的符号:
:n个决策单元的指标集
:已评估的决策单元的符号
:决策单元j第一阶段外部投入变量的矩阵（所有类型）
:决策单元j中间变量的矩阵（所有类型）
:决策单元j第二阶段产出变量的矩阵（所有类型）
:决策单元j第二阶段外部投入变量的矩阵（类型2和类型4）
: 决策单元j第一阶段产出变量的矩阵（类型3和类型4）
: 决策单元j在分数阶模型中第一阶段的外部投入变量的权重矩阵
: 决策单元j在线性模型中第一阶段的外部投入变量的权重矩阵
: 决策单元j在分数阶模型中中间变量的权重矩阵
: 决策单元j在线性模型中中间变量的权重矩阵
: 决策单元j在分数阶模型中第二阶段的产出变量的权重矩阵
: 决策单元j在线性模型中第二阶段的产出变量的权重矩阵
: 决策单元j第二阶段的外部投入变量的权重矩阵
:决策单元j第一阶段的最终产出变量的权重矩阵
: 决策单元j整体效率值
: 决策单元j第一阶段的效率值
: 决策单元j第二阶段的效率值
: 决策单元j第一阶段的独立效率值
: 决策单元j第二阶段的独立效率值
图1 两阶段过程的四种类型
2.1 I类型的模型结构
考虑基础模型(I型)中每个决策单元经过两阶段过程将投入变量X通过中间变量Z转化为产出，如图1中所示。基于这一基本设置，模型中只有第一阶段的外部投入变量进入生产系统中，也只有第二阶段的产出变量离开系统。通常，第一和第二阶段的决策单元j效率定义如下：
决策单元j的整体效率被定义为虚拟外生总产出占总虚拟外生总投入的比例：
基于投入方向的CRS-DEA模型独立估计决策单位j0在阶段1和阶段2的效率值：
（1）
（2）
为了结合两个阶段的效率评估，无论中间变量是作为第一阶段的产出或第二阶段的投入，普遍采用相同的中间变量权重。根据附加的约束模型(1)、(2)（反之亦然），我们得到以下分别为第一和第二阶段的改善后的模型(3)、(4)：
（3）
（4）
从公式（8）中可知，模型(1)、(2)最优解也分别是模型(3)、(4)最优解。模型(3)和(4)有共同的约束，因此，它们形成双目标模型如下：
（5）
对第一目标函数进行Charnes Cooper [3]转化(C-C转换以后)，即加强了分数阶目标函数和约束条件t gt; 0的所有的要求,从而 ，，，，我们得到以下等效的双目标模型，其中第二目标函数仍然是分数式的：
（6）
从等效线性模型(3)、(4)分别得到两阶段的效率值和。在多目标规划(MOP)中，矩阵为基于目标函数构成双目标模型（6）的理想值。两个阶段的效率也可以从双目标模型(6)获得。多目标模型(MOP)为在映射在帕累托方面目标函数空间中找到了有效（帕累托最优）的值，即在没有任何一个目标函数降低数值的情况下，不可能其中某个目标函数的数值会提升。下面的模型(7)采用加权切比雪夫准则(标准)来定位帕累托前沿的点通过最小化理想点的效率值（,）的加权的最大偏差和（）。
（7）
模型(7)中的最优解是模型(6)的弱有效解 (弱帕累托最优) [10]。若解为最优解,则前两个约束条件(7)中至少有一个将受到限制。假设对于两个阶段没有偏好性，在评估中使用的切比雪夫准则，即假设t1= t2= 1，可获得以下模型：
（8）
虽模型(8)为非线性模型，但其解可通过二分搜索方法得到。其中明显可看出，因此在有界区间[0,1]通过二分搜索可得到如下结果。令作为的下限的约束，而这与模型(8)是不一致的(最初 = 0)，并且与模型（8）(最初 = 1)一致的将作为的上限的约束。然后检验)/2的一致性。若是一致的，将取代；若不一致，将取代。按此方法一直迭代，直到上下限基本接近。使()为模型(8)最优解。
下面的模型(9)为模型（6）提供了一个帕累托最优解，该模型(9)相当于使用字母顺序的(第二阶段)模型(8)的最优解集的L1准则[21]。
（9）
在模型(9)中，是模型（8）的目标函数的最优值，为模型(8)中最优虚拟中间变量。其中，为保证模型的线性，为有效的替代值。如果模型(9)的最优解中S2 gt; 0，该程序是用在前面的迭代得到的最优权重w替换每次迭代中的系数S2权重w迭代求解，直到两次连续迭代的第一阶段效率保持不变（参见[ 7 ]作类似处理）。此方法同样适用于模型类型2-4中的第二阶段以及在下一部分提到的一般情况。模型(9)中的最优解()也是模型（6）的帕累托最优解(6)，并且决策单位j0在第一和第二阶段分别与系统的整体效率一致：
即,由于模型（8）的最优解是弱帕累托最优，在模型（9）中，两个变量和的最优值至少存在一个为严格正数。如果和，则为模型（8）的最优解是帕累托最优。
2.1.1说明
表1 基于加法和乘法分解模型的结果
表2 模型（9）的结果（和（8）的结果一致）
针对研究目的，本文采用模型（8）和（9），并且基于文献[17]初始提出的并在许多其他研究中使用的数据。此案例研究的是24家台湾非寿险公司的绩效考核。作者认为，两阶段生产过程有两个投入变量（操作费用-X1和保险费用-X2 XL），两个中间变量（直接保费-Z1和再保险费用-Z2），两个最终产出（承保利润-Y1和投资利润-Y2）。对于完整的数据集读者可参照原文章[ 17 ]。表1总结基于加法分解法的结果[ 5 ]（列2-4）和基于乘法分解法的结果[ 17]（列5-7）
表2为基于本文提出的方法所获得的结果。具体来说，列2与列3为阶段一与阶段二的独立效率值，列4和列5为阶段一、二的效率值，而最后一列给出了总体效率值。注意的是，模型（8）为帕累托提供了最佳的解决方案，即模型（9）并没有改变从模型（8）得到的效率值。
2.1.2新方法与乘法分解法的比较
最近，Despotis et al.[ 8 ]提出Chen et al. [ 5 ]的加性分解方法对于第二阶段的效率评估有偏差。在这一节中本文将展示新方法与Kao和Hwang[ 17 ]乘法分解方法的关系。以下回顾乘法分解模型的假设条件，整体效率是产品的阶段效率：
该模型通过优化整体效率预测的阶段效率：
（10）
获得模型（10）的最优解()后，则可以通过以下式子得到整体效率和阶段效率：
本文新方法与乘法分解方法的区别主要在于概念上的，而不是结构的。事实上，本文的新模型是基于[8]中引入的组合模式。在结构上，模型（6）和（10）有完全相同的约束条件和不同的目标函数。这两个模型具有相同的可行域。模型（6）是基于第一阶段和第二阶段效率的双目标模型（矢量最大化模型），其中的由帕累托最优的整体效率，在一定程度上，使各阶段效率尽可能接近他们的理想值。在模型（10）中，要求整体效率最大化，并通过分解的整体效率得到的后续的阶段效率。模型（6）和（10）的结构相似性使其能够共同设置目标函数空间。图2是模型（6）与（10）的评估单位（X0，Z0，Y0）的目标函数空间的一般表示。实际上就是在三维空间中的垂直于轴线平面。横轴为两模型的第一阶段的效率，纵轴为模型（10）的整体效率，即两模型的第一阶段和第二阶段效率的结果。
B点（1,1）表示为目标函数的边界值，即为决策单元的整体效率和。然后，第二阶段的效率，即为图中的OB的平分线的斜率。I点对应着第一阶段和第二阶段的评估单位的理想（独立）效率值，即垂直于水平线直线和点的切线（）的交点。由模型（9）得到的C点在模型（6）处于帕累托前沿面，是垂直于水平线直线和点的切线的交点。C点的横坐标是第一阶段的效率，而其纵坐标是基于乘法模型的评估单元的的整体效率。因此，当且仅当其纵坐标是最大的，C点为由乘法模型（10）得到的帕累托最优点。
图2 模型（6）和(10)的目标函数的一般表示
模型（8）为参数化模型，可以解决当参数和的不同效率值，如。
（11）
对于每一个参数t1、t2，模型（11）的每个值都在模型（6）的帕累托前沿面。也就是说，模型（11）可以作为一种工具来产生模型（6）帕累托前沿面。当t1值大于t2值，第一阶段的相对为优先级，效率则越大，反之亦然。图3中的曲线ABCD代表模型（6）的决策单位17的帕累托前沿面（表1和表2
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