Commun. Math. Phys. 289, 1087–1098 (2009) Communications in
Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s00220-009-0825-1
Mathematical Physics
Universal Coding for Classical-Quantum Channel
Masahito Hayashi
Graduate School of Information Sciences, Tohoku University, Sendai, 980-8579, Japan.
E-mail: hayashi@math.is.tohoku.ac.jp
Received: 18 July 2008 / Accepted: 12 February 2009
Published online: 13 May 2009 – copy; The Author(s) 2009. This article is published with open access at Springerlink.com
Abstract: We construct a universal code for a stationary and memoryless classical- quantum channel as a quantum version of the universal coding by Csiszaacute;r and Kouml;rner. Our code is constructed utilizing a combination of irreducible representations, a decoder introduced through the quantum information spectrum, and the packing lemma.
Introduction
How to transmit information via a noisy communication channel is one of the most important problems for current information network systems. The first big step in this direction was Shannonrsquo;s channel coding theorem [1], in which he proved that there exists a code enabling reliable communication whose transmission rate is the capacity of the channel, i.e., the maximum of mutual information between the input and output systems. In his formulation, Shannon treated the channel as a stochastic matrix.
In the present paper, we consider the ultimate transmission rate for sending classical messages, when the communication channel is given as a pair of a fixed optical fiber and a fixed modulator. In this case, the input system is described by a set X of classi- cal alphabets, and the output system is described by a quantum system. Therefore, the channel is given as a map from a classical alphabet to a quantum state (i.e., a density matrix), which is called a classical-quantum channel. In contrast, a stochastic matrix is called a classical channel. When all output density matrices commute with each other, the original coding theorem of Shannon can be trivially extended to the quantum case. However, in the general case, there is a serious non-commutative difficulty for its quantum extension. Although it is not so difficult to extend the mutual information to this non-commutative quantum framework, there have been several obstacles to the estab- lishment of the channel coding theorem, even for the classical-quantum channel. The crucial obstacle was first resolved by Holevo [2] and Schumacher-Westmoreland [3]. They showed that there exists a reliable code realizing transmission of the maximum value of quantum mutual information. In contrast, in 1970s studies by Holevo [4,5], it
was shown that there does not exist a reliable code overcoming the maximum value of quantum mutual information. The combination of the additivity1 of the maximum of the mutual information and these results yields the capacity theorem for the classical- quantum channel. That is, it implies that this maximum value is equal to the maximum reliable transmission rate, which is called the capacity. After their achievement, Ogawa and Nagaoka [9] and Hayashi and Nagaoka [10] systematically constructed other codes which realized capacity transmission using the information spectrum method. However, since these existing codes depended on the form of the channel, they were not robust with respect to disagreements between the senderrsquo;s and receiverrsquo;s coordinate systems.
In the classical system, Csiszaacute;r and Kouml;rner [11] constructed a universal channel coding, whose construction does not depend on the channel and depends only on the mutual information and the lsquo;typersquo; of the input system, i.e., the empirical distribution of code words. (The notion of type will be explained in Sect. 3.) Here, we should remark that a universal channel code can universally realize not the capacity but the mutual information because the constructed code is based on an (empirical) distribution on the input classical system whereas universal data compression can universally realize the minimum compression rate for both variable-length settings [12,13] and fixed-length settings [11]. In order to extend Csiszaacute;r-Kouml;rnerrsquo;s universal coding to the quantum case, we have to overcome the non-commutative obstacle.
Concerning the quantum system, Jozsa et al. [14] constructed a universal fixed-length source coding, which depended only on the compression rate and realized the minimum compression rate. Hayashi [15] discussed the exponentially decreasing rate of the decod- ing error. Further, Hayashi and Matsumoto [16] constructed a universal variable-length source coding for the quantum system. Hence, we can expect to establish a quantum ver- sion of universal channel coding. For example, even if the receiver cannot synchronize his coordinate system with the senderrsquo;s coordinate system, universal coding guarantees reliable communication.
In the present paper, we construct a universal coding for a classical-quantum chan- nel, which enables transmission of the quantum mutual information and which depends only on the coding rate and the lsquo;typersquo; of the input system. Unfortunately, the capacity cannot be attained universally because its construction depends on the distribution of the input system. In the proposed construction, the following three
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普遍的经典-量子信道编码
摘要：我们构建了一个通用的代码、一个平稳而无记忆的经典——量子通道。作为一种通用的编码Csiszaacute;R和Kouml;rner的量子版，代码的构造利用相结合的不可约表示形式，本文中利用解码器介绍了量子信息的频谱和包装引理。
1、介绍
How to transmit information via a noisy communication channel is one of the most important problems for current information network systems. The first big step in this direction was Shannonrsquo;s channel coding theorem [1], in which he proved that there exists a code enabling reliable communication whose transmission rate is the capacity of the channel, i.e., the maximum of mutual information between the input and output systems. In his formulation, Shannon treated the channel as a stochastic matrix.
如何通过噪声信道进行信息的传输是当前信息网络系统中最重要的问题之一。从这个方向出发，迈出的第一步体现在Shannon信道编码定理中，它证明了存在一个可实现的、可靠的通信传输速率通道，即具备能力的代码，系统之间输入和输出的信息是最大的。在Shannon信道编码定理中，Shannon处理信道被假设为一个随机矩阵。
在本文中，我们考虑了经典信息发送的极限传输速率，把信道当做一对固定的光纤和固定调制器，在这种情况下，输入系统是由一组卡尔字母描述，输出系统则是由一个量子系统来进行描述的。因此，渠道由经典的卡尔字母给出一个地图（例如：量子态的密度矩阵），我们将其称为量子信道。相反地，随机矩阵则被称为经典信道。当所有的输出密度矩阵在相互交换的条件下，Shannon编码定理就可以很简单地被扩展到量子的范围。
然而，在一般情况下，存在着严重的不可交换的量子扩展，虽然它不是难以扩展的非交换的量子框架，但是建立信道编码定理仍然存在几个障碍，尤其是对经典量子信道而言。关键的障碍是由Holevo 和Schumacher-Westmoreland解决的，他们发现存在一个可实现的量子互信息最大值的可靠传输代码。相反，在上世纪70年代由Holevo研究的结果表明，不存在这样一个可靠的代码能够克服量子互信息的最大值。相结合的最大互信息和这些结果产生的经典——量子信道容量定理，意味着这一最大值等于最大的可靠传输速率，这就是所谓的传输能力。在这两位研究成果的基础上，Ogawa和Nagaoka系统地构建了其他代码的利用信息谱，并实现了最大容量的传输。然而，由于现有的代码仍然依赖于信道，他们的分歧则是相对于发送方和接收器的坐标系统之间的。
在经典的系统中，Csiszaacute;R和Kouml;rner构建了一个通用的信道编码，其结构不依赖于渠道，只取决于互信息输入系统的类型，即码字的经验分布（解释类型的概念）。在这里，需要说的是，一个通用的信道编码要想可以去构造代码必须要基于实现互信息的分布输入，而经典系统的通用数据压缩可以实现可变长度设置和固定长度设置的最小压缩率。为了延长Csiszaacute;R和Kouml;rner的通用编码到量子的情况下，我们必须克服非交换障碍。
关于量子系统，Jozsaetal构建了一个通用的固定长度编码，只取决于压缩率和压缩率的最小实现。此外，Hayashi构建了一个通用的可变长度源的量子编码系统。因此，我们可以建立一个量子版通用信道编码,例如，即使接收机无法同步它的坐标系与发送者的坐标系统，也能保证可靠通信的通用编码。
在本文中，我们构造了一个经典的量子通用编码，使得量子信息之间进行互传，而且只取决于编码的速率和输入系统的类型，然而也付出了一定的代价。由于其施工普遍依赖于输入系统的分布，在提出的建设，以下三个因素起重要作用的解决非交换障碍：一是通过信息的谱方法证明了解码器，在信息谱方法中，解码器是由信号状态和混合状态之间量子模拟投影仪平方根去测量并构造的；二是对特殊群和置换群的对偶表示不可分解的对偶，这被称为Schur对偶，不可分解的方法在量子设置中提供通用协议。然而，即使在经典的情况下，通用的信道编码也需要满足一定的条件以及类型。在本文中，我们介绍了一个条件式的量子模拟，这是本文最重要的部分；三是包装引埋，从而产生信号的适当组合状态独立于经典案例通道的形成。这种方法在本文中也是很重要的部分。
Bjelakovic和Boche进行了一个独立的工作，他们将一个代码及一个经典——量子信道普遍实现了量子互信息的传输。得出了不同的结论，本文就这一结论展开以下的教学点：首先，本文明确地提出了编码器和解码器可以达到普遍的最大互信息传输。其次，本文所提供的一个上限的平均误差概率降低的速度是指数级的，而且没有相应的上限。再次，本文利用Schur的二重性，这可以被视为一种对Csiszaacute;R和Kouml;rner型量子的扩展方法。近一步讲，我们假设编码器不取决于输出系统的尺寸，只有解码取决于输出系统尺寸。注意，Csiszaacute;R和Kouml;rner型量子的建设和Bjelakovic等人的建设取决于输出系统。本文采用包装引理在编码器的结构，然而，利用这个引理的方式不同于Csiszaacute;R和Kouml;rner的特点，因此，它引申出的是一个新结果。
本文的其余部分内容如下：我们解释本文所用的主要结果包括一个通用的编码为量子信道存在的符号。在本节中，我们目前的指数下降率是通用代码的错误概率来计算的。对集团代表符号的表示理论提出一种条件式量子模拟，我们提供了一个代码。
2、主要结果
对经典的量子通道，我们专注于输入字母集X={1，hellip;hellip;，k}和输出系统表示空间的维数DH，一个经典的量子信道是给出一个地图从X到Hi→W形式的密度矩阵的集合i。把n离散无记忆扩展为从Xn到对n张量积的密度矩阵的设置图。同时，在这个扩展图输入序列中，发送消息{ 1，hellip;hellip;，Mn }需要编码器和解码器。编码器是给出一个图ϕn从消息集合{ 1，hellip;hellip;，Mn }，以字母Xn的集合，经过解码器解码之后，得到i= 1。Phi;n=（Mn, ϕn , Yn) 的大小评价由其性质|phi;N |=Mn和平均错误概率决定，根据公式：
上述定理即经典量子的信道编码定理。最佳可靠传输速率如下：
在互信息被定义为I（p，W）被定义为输入字母集合X={1，.....，k}，公式如下：
下面的主要定理，存在一个可靠的代码，只取决于编码率R和P分布时的编码率R小于互信息输入系统（P，W）。注意，这个定理并不意味着容量的最大值P为（P，W），因为我们的假设只取决于输入分布P。
定理1：任何分布P = {pi;} 输入字母设置和任何实数R都可以实现有代码序列。
由于存在参数t isin;（0，1），满足这一条件时，平均错误概率则变为0，这实际上意味着，无需信道W我们可以接受建立一个可靠的代码仅基于输入分布P当编码率R小于互信息I（P，W）：
因此，为了控制结构的代码实现的容量最大P I（P，W），我们需要知道只有价值argmax P(P，W）。我们不需要经典和量子的完整的知识，例如，我们可能无法识别的输出系统的坐标，即，我们不能确定只有单一的U在经典的全量子通道；然而我们能够确定最大输入分布argmax PL（P，W）。在这种情况下，我们可以构建一个实现容量最大P I码（P，W）。换句话说，我们的评价的平均错误概率保证可靠通信的代码即使真正的信道是和估计的信道有点不同。
3、群表示理论
在这一部分中，我们专注于通过特殊量积空间的对偶表示（D）和n次对称群Sn的二次方。对于这个目的，我们专注于新图的类型。前者着重理论，而后者是则更注重概念，即表示的是信息论中相应的概念。当向量整数n =（N1，N2，···，ND）则满足条件 和，向量n称为小图的大小n和深度d，这样的向量的集合记为Yd 。当载体整数n满足条件n大于或者等于0时，矢量p=n是一个“类型”的大小；这些向量的集合我们记为D。此外，Pisin;TD，子集的定义为：T p= {x isin; X n |x的经验分布是平等的p}，这些集合的基数约束如下：
使用小图约束分解可以概括为：
这就是所谓的Schur对偶。当Nisin;YD， Un维数的评估是通过把带入公式中来完成的，公式如下：
接下来，我们专注于两个系统X和Y = {1，.....，l}，当X的分布是一个概率分布时，p=（p1，........，pd）。
当X的分布是一个概率分布时p = ( p1，......，pd) 可以从{1，......，d}中找到，X的条件对Y的条件的分布是由V决定。我们通过P*V连接分布于X * Y上，并且通过P*V分布Y，以往分布在被称为有条件的类型X，我们通过V (x, Y)表示条件类型设置X，任何有条件的V型X，于是我们定义了Yn的子集。
P是X的经验分布我们定义的状态从rho;x到x isin; X n ，为了这个目的，我们考虑一种特殊的元素x=（1,2,3，........，k），则将rho;x定义为：
然后我们定义这样一个状态，它们在经典案例中的条件类型起着类似的作用，利用上述不等式，我们可以得到：
如图所示，密度矩阵 rho;x1=rho;U，m1 otimes; rho;U，m2 otimes; ··· otimes; rho;U，mk的通勤rho;U，n。为简单起见，我们把rho;U，m1 otimes;rho;U，m2和rho;U，m1 m2进行交换，为了证明这一事实，就要利用{Ei }i预测显示分辨率的身份存在的，例如：
当分辨率{E 1}的身份是作为预测的约束点其关系就是SU(d) times; Sm m，因为满足rho;U，m1 m2建立该关系满足公式10，同样，{E 2}分辨率的身份是作为预测组中表示的不可约空间SU(d) times; SU(d) times; Sm1times; Sm2 = (SU(d) times; Sm1 ) times; (SU(d) times; Sm2 )同时{E 2}满足公式9，因此得出{E j } j isin; J满足公式四和物。因此，密度矩阵rho;U，m1rho;U，m2合并成rho;U，m1 m2同样的应用探讨组成SU(d) *Sm1*Sm2*.......*Smk我们能够表明rho;x1= rho;U，m1 otimes; rho;U，m2 otimes; ··· otimes; rho;U，mk合并成rho;U，n这个特性对解码器的建设是必不可少的。
4、代码结构
本部分的主要观点是为建立的包装引理提供一个代码,其性能基本上相当于定义下的随机编码的平均表现。我们把系统Y与其他系统X的条件类型结合时，就有了以下的讨论：
定理一：一个正实数delta;其中的一个类型p和一个正实数R存在Mn=en(Rminus;delta;)不同的元素Mn= {x1,..., x Mn } sub; T p，例如，它们的经验分布P和|TV (x) cap; (Mn{x})|le; |TV (x)|eminus;n(H( p)minus;R)，x isin; Mn sub; T p 和V isin; V (x，X )。
请注意，该编码器Mn不依赖包装采用引理治疗条件类型的输入系统，输入系统依赖于输出系统。现在，我们将上述公式可以变换成一个更有用的形式。采用编码器，我们可以定义的分布。
由于x1 isin; T p意味着pn(x1) = eminus;nH( p)，任何元素x1 isin; TV (x) cap; Mn sub; T p 满足：
当条件类型V是不相同的，公式5的关系适用于任何x1isin; Mn存在一个条件类型V例如x1 isin; TV (x)和V是不相同的。其次，任何 x isin; X n和任何实数Cn，我们定义的公式P(x) := {rho;x minus; Cnrho;U,n ge; 0}，哪里{X ge; 0}给出Ei投影一个埃尔米特矩阵X的对角化X =xi Ei。记得密度矩阵rho;x关联其他密度矩阵rho;U，n。使用投影P(x), 我们定义的解码器。
接着，上述的构造的代码表示phi;U，n( p，R)。
5、指标评价
Hayashi和Nagaoka表明，然后平均错误概率可以从式子phi;U；n=( p, R)中评估得出如下公式：
由于密度矩阵rho;x联系密度矩阵（rho;U，n），我们有：
其中0 le; t le; 1密度矩阵联系密度矩阵Wn(x),Wn(x)rho;xminus;t由一个埃尔米特得出：
由于数量Tr Wn(x)[I minus; P(x)]是属于不变的排列关系和公式2结合意味着：
从16、17中可以得出18、19用下面的方法可以检查20，当X是半正定矩阵是，sigma;是一种密度矩阵0 le; t le; 1，p = 1/(1 minus; t)，q=1/t，意味着Houml;lder是 Tr Xsigma;t le; Tr |Xsigma;t |le; (Tr X p) p (Tr sigma; tq) q = (Tr X 1minus;t )1minus;t，这种不平的成效导致了20，接下来，我们利用Sx 的不变性第二次评估13：
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