船舶设计问题的全球新型优化方法外文翻译资料

 2022-07-29 15:05:59

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船舶设计问题的全球新型优化方法

摘要：本文的目的是解决工业的最优设计问题，当目标函数值需要评估时，应用程序是昂贵的，模拟代码及其一阶导数不可用。为了达到这个目标，我们提出两种新的算法，从现有的两种方法中获得灵感：

一种基于填充函数的算法和粒子群优化方法。为了为了测试两种提出的算法的效率，我们与我们从中吸取灵感的方法进行数值比较，并与一些标准的全球工业设计优化中目前采用的优化算法。最后，一个现实的船舶设计问题，即减小幅度一艘在大海上前行的船舶起伏，使用新的代码和其他全局和局部无衍生优化方法来解决。所有的数值结果显示了其有效性。

关键词：非线性编程、全局优化、基于仿真的设计

  1. 介绍

复杂系统的基于仿真的设计（SBD）是一个新兴的改进工时间密集的工业设计，结合了复杂的模拟代码精细的计算网格和数值优化算法。特别是在海洋，航空和汽车的流体动力学设计中运输系统，形状发挥关键作用，其详细分析往往需要非线性偏微分方程（PDE）的解，即NavierStokes方程，其从计算点特别昂贵在一个现实的三维几何的情况下的视图。使用数字代码能够在SBD中解决这个方程组，是由高性能计算平台的可用性所允许的。然而，模拟的成本，即目标功能评估，CPU耗时。典型的船舶设计分析Navier-Stokes方程对于三个函数评估需要多达10个小时二维网格，例如2times;106个节点。尽管如此，其他应用也可能需要更多的时间。

在这种情况下，SBD框架的发展相结合这些非常昂贵的分析工具和全球优化（GO）算法可能会表现为悖论，但是设计工程师很乐意采取这一方向（参见Coxet al。 2001; Peri和Campana 2005），至少有三个好的理由：

  1. 显示典型的目标函数（例如，汽车，飞机，船舶等的总拖动）几乎从来没有，噪音，不平滑和不可用的衍生物，所以当地优化者可能被当地最低标准所困扰;
  2. 由于存在非线性几何和功能约束，这些优化问题的可行设计空间通常是非凸的必须强制执行，以防止不现实的结果并提供有意义的结果设计;
  3. 连续的实验和计算活动使领先的设计工程师在许多工业领域中产生接近最佳的配置改进的余地正在缩小，进一步改进可能来自本地优化方法的可能性很小。

这些开放的问题激发了新的无衍生全球优化算法的发展，其数量有很大的效益和效率目标函数评估。为此，我们提出了一种新的粒子群优化（DDFPSO）方法和一种新的基于填充函数的方法（FILLDIR）。我们从粒子群优化（PSO）方法中获得灵感，因为它们广泛用于解决许多工业和工程问题尽管如果没有理论基础，他们很穷（参见例如文特尔（Venter）和Sobieszczanski-Sobieski 2003,2004;平托等人2004）。另一方面，我们有新的全球船舶设计优化方法问题535选择填充函数的算法，因为它们有趣的理论属性（参见Lucidi和Piccialli 2002; Xu et al.2001），尽管它们较少在实践中使用。在新的算法DDFPSO中，我们引入了本地搜索阶段基于Lucidi和Sciandrone（2002）中描述的无衍生自由最小化方法（DF）。关于FILLDIR，我们介绍一个新的填充函数，我们分析其理论性质。此外，我们提出了一种基于这种新的填充函数的全局优化算法，大致上是一个确定性的多启动方式特别是填充功能和原来的功能通过微分方程（DF）最小化Lucidi和Sciandrone（2002）。将新的求解器与Lucidi和Piccialli（2002）提出的基于填充函数的算法进行比较，并与目前在工业最佳设计领域中使用的一组标准方法进行比较众所周知的测试问题。标准的GO算法是从不同的GO方法的类，即分解方法，遗传算法，聚类技术和多重启动模拟退火算法。最后，我们将增强的GO算法与其他全局和局部比较（在Lucidi和Sciandrone（2002）中描述的DF和Powell中描述的NEWUOA（2004））对现实船舶设计问题的优化方法，其中包括

在使船的重心垂直运动（起伏运动）最小化在大海上以固定速度前进。

我们通过正式说明约束的GO问题来总结本节源于船舶设计问题：

其中x，l，uisin;Rn，f：Rn→R和g：Rn→Rm是连续可微函数的两倍，即使我们假定导数不可用。

  1. 一种新的填充函数方法

在本节中，我们提出一种新的填充函数算法来解决问题（1）。 这个问题有双重困难。 一方面，目标函数呈现多个局部最小值，其中包括全球最低点。 在另一方面，非线性约束的存在显着增加了难度

通过对解决方案进一步的要求来解决问题。 作为第一我们最初是基于一个填充函数来定义一个算法忽略所有约束g（x）le;0和lle;xle;u，因此我们参考该问题

我们需要在本节中确定以下假设。

假设1 对于任何alpha;isin;R，水平集Lf（alpha;）= {xisin;Rn：f（x）le;alpha;}是连续的。

这是一个最低限度的要求，通常被任何最优设计所满足问题。

基于填充函数的算法的主要思想是，一旦确定了问题（2）的静态点x1 *，建立了称为填充函数的目标函数的扰动，使得其静态点满足关系f（x）lt;f（x1 *）。 以这种方式，通过最小化填充函数，可以找到一个固定点的填充函数具有原始目标函数的值低于f（x1 *）更正式地，基于填充的一般算法的方案功能可以说如下：

算法填充

数据：x0isin;Rn。 设置klarr;0。

步骤1.通过将局部最小化算法应用于解决方案来计算xk *问题（2）从xk开始。

步骤2.定义填充函数Q（x，xk *）。

步骤3.选择一个点x并找到

通过使用从x开始的局部最小化算法。

步骤4.如果f（y）lt;f（xk *），则设置xk 1larr;y，klarr;k 1，然后转到步骤1。否则转到步骤3。

结束算法

我们没有指定停止条件，因为它在实践中可能与应用程序不同。例如，它可以取决于最大允许的功能数量评估，CPU时间或步骤4的故障次数。

在下面我们介绍一个具有不同属性的新的填充函数关于Lucidi和Piccialli（2002）提出的建议。特别是，Lucidi和Piccialli（2002）的填补功能在全球拥有有利的财产凸起，但必须支付的价格是存在已知的当地最小值一点比xk *更有吸引力的盆地，所以局部最小化

在第3步往往被这个本地最低限度吸引。我们介绍的填充功能

这里并不是全局凸起，而是没有固定点目标函数高于f（xk *），数值实验证明新的填充函数在实践中最可靠地定位全局最小点。

2.1一个新的填充功能

在本小节中，我们介绍一个新的填充函数，其具有以下表达式：

其中是原始目标函数f（x）的已知固定点，gamma;gt; 0，tau;ge;1是实数。

这个填充函数由两个词组成; 第一个，exp（ - ||x - 〜||2 /

gamma;2），使点为填充函数Q（x，）的局部最大值（绘制我们的）

来自Renpu的灵感1990和Xu等 2001）。 第二项，1-exp（tau;[f（x） -

f（） alpha;]），对具有较大目标值的f（x）的固定点进行滤波

或等于f（），并确保对于参数的正确值，Q（x，）具有

目标值低于f（）的点的局部最小点。 更详细地说，有可能证明以下理论结果：

命题2.1 存在tau;gt; 0，使得对于所有的tau;ge;tau;，填充函数具有

以下属性：

（i）点是填充函数Q（x，）的隔离局部最大值。

（ii）Q（x，在{xisin;Lf（f（x0））中没有无约束的静点：f（x）ge;f（）}除之外。

（iii）如果不是f（x）的全局最小值， 满足条件

其中x *是f（x）的全局最小值，然后是全局最小点，Lf（f（x0））上的填充函数Q（x，）的x属于{xisin;

Lf（f（x0））：f（x）lt;f（）}。

证明首先我们注意到Q（x，x〜*）的梯度具有以下表达式：

我们从证明点（i）开始。 由于点是问题（2）的静止点，它满足nabla;f（）= 0。因此，（5）意味着

因此是Q（x，）的固定点。 此外，我们有这个nabla;2Q（，）= - 2

因此，对于所有的yisin;Rn，都是如此

其中lambda;max（nabla;2f（x〜*））是矩阵nabla;2f（x〜*）的最大特征值。 以上

不等式意味着存在tau;1gt; 0，使得对于所有tau;ge;tau;1，Hessian矩阵nabla;2Q（，）为负定。 所以点是一个孤立的地方所有tau;ge;tau;1的Q（x，）的最大值。

对于点（ii），回顾Q（x，）梯度的表达式（5）我们

注意，如果存在一个无约束的固定点xisin;Lf（f（x0））

Q（x，），使x=和f（x）ge;f（），必须满足

点（i）意味着存在gt; 0， 假设1紧跟着Lf（f（x0））。 因此存在两个常数D和L这样和 对于所有xisin;Lf（f（x0）），le;L。 这意味着以下（9）的双方估计：点（i）意味着存在，使得 假设1紧跟着Lf（f（x0））。 因此存在两个常数D和L这样， 对于所有xisin;Lf（f（x0）），le;L。 这意味着以下（9）的双方估计：

以及

因此，（10）和（11）意味着存在tau;2ge;tau;1，使得对于所有tau;ge;tau;2

条件（9）不成立。

最后，我们证明（iii）。 Lf（f（x0））的紧密度意味着存在的全局最小点xisin;Lf（f（x0））的Q（x，）。 对于所有xisin;part;Lf（f（x0））我们具有f（x）= f（x0）ge;f（），因为是通过局部最小化获得的电平设Lf（f（x0））。 然后

令x *为f（x）的全局最小点。 那么（4）意味着存在tau;3，使得对于所有tau;ge;tau;3

由此我们得出

这意味着x在Lf（f（x0））的严格内部。 而且，我们有

因此（12）意味着xisin;LQ（Q（，）。 因此，由于（i）我们

知道xisin;{xisin;Lf（f（x0））：f（x）ge;f（）}，我们证明它在内部

（f（x0）），我们得到xisin;{xisin;Lf（f（x0））：f（x）lt;f（）}因此，选择tau;macr;ge;max{tau;2，tau;3}，结果如下。

迄今为止描述的属性适用于无约束问题（2）。 然而，我们感兴趣的问题是提出一些非线性的问题（1）约束g（x）le;0和一些箱约束lle;xle;u。 为了处理约束并获得形式（2）的问题，我们使用infin;惩罚函数导致的问题是

在这里gt; 0是一个惩罚参数，为了使问题（13）等同于问题（1），应该选择得足够小。 我们注意到函数p（x）在集合{xisin;[l，u]：g（x）le;0}的边界上不平滑，但在其内部连续可微分两次，其中p（x）= f（x）。 因此，假设1，在足够小的附近，p（x）可连续两次可微分，每个严格的可行点x *。 此外，我们注意到，由于f（x）满足假设1，所以p（x）的所有等级集合也是连续的。

2.2确定性代的起点

算法填充的一个关键方面在于步骤3。即取决于起点x可能发生步骤3产生的点y不满足条件f（y）lt;f（xk *），因为由局部最小化算法产生的点的序列离开水平集Lf（f（x0））。因此，可能是必要通过选择不同的起点x来重申第3步。基于的算法Lucidi和Piccialli（2002）中提出的填充函数通过从伪随机序列中提取所需的起点来解决这个问题。在本文中我们提出了基于确定性生成点的不同选择规则。

特别是，我们采用了命名为DIRGEN的生成策略，灵感来自于Jones等人提出的DIRECT算法。 （1993）。每当一个新的起点就是需要执行DIRECT-type算法的单次迭代。这个数额使用与DIRECT使用的相同的分区策略来细分可行集的当前分区的最大超间隔之一。这样就是这样确保连续产生的起始点之间的距离减小相当统一我们强调原始DIRECT算法和点发生器DIRGEN，其中DIRGEN不执行任何操作基于目标函数的超间隔选择。在极限中，如果应用无穷大次数，DIRGEN在箱子[l，u]中产生一组密集的点。实现上述策略并应用新填充函数的算法问题（13）如下：

算法填充

数据：

步骤1.通过将局部最小化算法应用于解决方案来计算xk *问题（13）从xk开始。

步骤2.定义填充功能

步骤3. 使用DIRGEN生成一组点k。 设klarr;kcup;k-1。

重复

选择一个点xisin;k，设置klarr;k \ {macr;x}并找到

yisin;arg min Q（x，xk *） （xisin;Rn）

通过使用从x开始的局部最小化算法。

直到或。

步骤4. 如果p（y）lt;p（xk *），则设置xk 1larr;y，klarr;k 1，然后转到步骤1否则设置x *k 1larr;xk *，klarr;k 1，然后转到步骤3。

结束算法

在实际实现中，我们设定常数gamma;= 1，参数

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