基于概率的公交车头时距规律度量方法
J. (J.) Lin1 M. Ruan2
1Department of Civil and Materials Engineering, Institute for Environmental Science and Policy, University of Illinois at
Chicago, 842 W. Taylor Street (M/C 246), Chicago, IL 60607, USA
2Department of Civil and Materials Engineering, University of Illinois at Chicago, 842 W. Taylor Street (M/C 246),
Chicago, IL 60607, USA
E-mail: janelin@uic.edu
摘要：在服务频繁的公交线路中，乘客对公交车头时距规律的关注程度大于公交车准点到达的实际正点率。公交车以很小的间距到达（聚簇）或大间隔效应是不可取的。在这项研究中，用来衡量公交服务可靠性的一个时间点（站）为概率基础的公交运行规律先被转化为公交总线驻留时间、行程内停止的次数、客运活动（即到达、上车和下车）和期望（或公差）公交车车头时距。后来，本文提出的度量模式被芝加哥交通局用于评价公交路线的自动车辆定位数据（AVL）。研究发现，公交出行的车头时距规律与发车间隔密切相关。此外，时间点级服务的可靠性随着乘客活动水平的增加或乘客的最大期望车头时数减少（即乘客对公交服务的要求越来越高）而降低。案例分析表明，本文提出的基于概率的车头时距规律测度提供了一个公交机构用来满足乘客的期望，从来增加载客量的可操作的度量方法。最后，这项研究指出了AVL/APC数据的另一个重要应用。
引言
公交服务可靠性是交通机构在保持公交作为有望替代汽车时关注的主要问题之一。公交服务的性能可能因交通状况、公交操作和旅客的需求等多种因素的不同而不同，所有这一切都在大量的文献中有研究（例如，[ 1–6，17 ]）。特别是公交车头时距不规则性阻碍通勤者使用公共交通[ 1，4 ]。在不断努力来改善公交服务可靠性过程中，交通机构已经制定了性能指标在公交准时、车头时距的保持和运行时间保持方面衡量公交服务可靠性[ 3，5 - 8 ]。有效的服务绩效指标是测量、诊断和精确定位问题领域里有力的工具。
一个最常用的车头时距规律度量标准是由Osuna和Newell提出的乘客平均等待时间[ 9 ]。假设乘客到达均匀的情况下，Osuna和Newell[ 9 ]表明，乘客平均等待时间相当于平均车头时距的一半加上车头时距方差和平均车头时距的比例的一半，即E（等待）= 0.5E(车头时距） V（车头时距）/ 2E（车头时距）。除了车站的等待时间，Furth和Muller[10]认为，还有潜在的等待时间包括在服务可靠性测量之内。潜在的等待时间被定义为第95%等待时间和平均等待时间之间的差值。然后，这个等效的等待时间为平均等待时间和一部分的潜在等待时间的总和。基于经验近似，该占比为0.5。这两项研究均考虑了车头时距方差，这表明如果保持平均车头时距相等时车头时距方差很小，那么平均等待时间会更少。
Turnquist [ 11 ]将公交服务可靠性中乘客区分到时刻表的遵循和车头时距规律中。也就是说，乘客在数量稀少的服务路线乘坐公交时倾向于研究的时间表来协调他们到达公交车站的时间，以尽量减少等待时间。这意味着，遵循时间表是一个很好的衡量提供给乘客的服务质量的方法，并且坚持时间表是个提高服务可靠性的有效策略。如果需求量大，服务足够频繁，乘客会随机到达公交站，而不必参照公交时刻表。在这种情况下，提前引进平均等待时间是个是提高公交服务可靠性的有效措施，并且保持车头时距的策略是减少车头时距方差的合适措施。
在Polu的研究中[ 1 ]，沿着研究路线所观察到的行程时间被发现遵循Beta分布，分布的参数预估为参数之间线性相关，并且和非高峰时段的线路长度线性相关。关联的可靠性后来已行程时间的偏差的形式给出。在将行程时间和评估线路路段在一起时拟合概率分布比确定一个值有着明显的优势，特别是在相关数据可获取的时候。然而，基于路段的行程时间偏差，虽然有利于交通部门提高服务质量，但是很难让乘客知道下一辆公交车何时到达或者服务的稳定性。即使下一个公交的到达时间是可以预料到的，但所预料到的到达时间的可容忍范围也是乘客在车站等待时急需要的信息。
着眼于经常服务的城市公交线路，我们提出了同时对乘客和公交管理人员都有益处的一个基于概率的服务可靠性指标。实际上，许多大的公共交通机构已在车站向乘客提供公交车辆到达信息。另一方面，虽然到达时间信息对乘客有着相当的价值，但信息的可靠性（定义为一个预定可接受范围内的概率值）也是乘客所急需的。在本文中，我们将车头时距规律这个重要公交服务指标作为主要的公交服务可靠性指标调查的主要依据。我们首先提出了基于概率的车头时距规律度量的数学公式，然后用本文所提出的指标去评价芝加哥交通局(CTA)公交路线的服务可靠性。正如文章后面所示，本文提出的概率车头时距规律结合了可以从自动车辆定位系统（AVL）和自动乘客计数系统（APC）中得到的重要交通运营因素，因此它为交通机构在改善公交服务来满足乘客期望，从而增加载客量方面提供了一个度量方法。
值得一提的是，案例利用CTA所收集的AVL和APC数据来确定所研究公交路线的公交车头时距的概率分布模型。本文提出了一个新的AVL/APC数据的应用程序[9, 12–14]来提升和改善公交服务效绩。例如，Bertini和EI geneidy [14 ]证明了可以使用AVL和APC数据推导出一整套性能指标，包括一个航线、一个区段和一个点，包括服务小时数、车次数、操作里程数、载客人数、每英里乘客数、平均速度、操作员数、行程时间和停留时间。Lin等人[ 8 ]提出了一种公交服务可靠性质量控制框架，包括AVL和APC数据面板的使用。而AVL数据的应用和研究正在努力地进行着，其价值还没有被充分地意识到，需要更多的研究。
本文的其余部分组织如下。概率测度的数学公式在第2节，其次是安插了一系列的案例研究通过使用AVL/APC数据来证明本文所提出的方法的作用[15]。第3第4和第5节描述了案例研究中所使用的数据的概率性质。最后，分析结果在第6节，结论在第7节。
1.基于概率的车头时距规律的数学公式
如参考文献所示，公交服务可靠性在公交服务频繁和稀少的地区被认为是不同的。在公交服务频繁的城市地区，乘客关注的主要是公交车辆的车头时距规律。建立在这个想法上，我们下面提出了以下概率为基础的车头时距规律性度量来反映车头时距，停止的数量，公交停留时间，乘客活动停止和乘客的容忍水平。该度量给出了公交在预期的车头时距内运行的可能性。首先，我们定义公交服务可靠性在一个给定的路线站点。
定义：公交服务可靠性在给定的路线的站点被定义为公交在最大乘客预期车头时距范围内到达。也就是说，在给定的站点k，服务可靠性被定义为
p= P{headwaykle;Hb} （1）
式中的Hb是乘客的最大期望车头时距.注意（1）不限制车头时距的下限。这跟常乘坐公交的乘客的偏好是一致的。当然，从机构的角度来看，频繁的公交服务意味着高昂的运营成本，这可能会导致更不理想的机构范围内的政策和操作。在本文中不考虑这样的约束考虑。第二个原因是不包括下限是由本研究设计。也就是说，（1）可以包括公交聚簇的情况，这是这项研究中有意思的地方。
现在考虑路线上的两个连续停靠站K -1和k。两个站之间定义的路段表示为路段k。
我们介绍下面的符号：hk是现在的和前面的公交在站点k的车头时距；hkp是公交现在和它自己在站点K之间的车头时距；tkp是前面的公交在路段k的行程时间；Tk是目前的公交在路段k的行程时间；dkp是前面的公交在站点k的停留时间；dk是当前公交在站点k的停止时间。
因此，我们在站点k有如下的车头时距定义
（2）
或者
（3）
Delta;tk是路段k上现在的公交和上一辆公交车内行驶时间的差值，Delta;dk-1是现在车辆和上一辆公交在k-1站的停留时间差值。如果我们按照（3）写出每一站。则是：
（4）
接着可以得出：
（5）
也就是说，任何站点k的车头时距都可以被写作终点站的发车时间间隔h1、所有之前的站台的驻留时间和直到k站台的现在和前一辆公交的车内行驶时间之和。
回到公式（2），如果我们进一步假设乘客到达和上车（和下车）是均匀的，那么dk-1或者dk-1p可以被写成
或者
（6）
该公式中lambda;k-1是乘客在k-1站台的到达率；mu;b k-1是乘客在k-1站台上车过程速率；rho;k-1是站台k-1的服务强度
hk-1-dp k-1项是前一辆车在k-1站台的车头时距和驻留时间的差值，既在站台k-1现在和前一辆公交车之间乘客的最大等待时间。这里我们假定公交的容量足以容纳所有在车站等待上车的乘客。因此rho;不大于1且随着乘客的到达率的增加而增加。（6）中的公式也假定了为了简化计算，前门进后门出的上车时间也可以忽略。注意，这个假设可能不适用于路线的终点，那里的乘客下车占主导地位。所以（6）不会用于终点站，我们会分开用公式描述。在本文中我们没有具体公式，但是为了满足读者的好奇心，我们将会指出这个公式很直接，而且和（6）公式很类似。
用（2）中的dk-1来代替（6）中的dk-1，我们可以得到以下的车头时距定义：
（7）
然后可以得到：
（8）
在公式（8）中Sigma;k j=2Delta;tj是路线中现在的车和前一辆车的车内行程时间的差值的总和。在频繁的公交线路上，在那种交通情况两辆连续的公交车相距不远的情况下去假定差值趋近于0也是合理的。换句话讲，总体的行程时间根本上归结于乘客在公交站点的活动和交叉口延误。所以Sigma;k j=2Delta;tj从（8）中取消。最后将（8）带入（1）可得：
（9）
等式（9）中定义了基于概率的车头时距规律度量方法，它是由服务强度（rho;j-1）、前一辆车在行驶直到站台k的驻留时间、发车时间间隔（h1）和最大预期车头时距（Hb）。这个公式对交通机构用来提升车头时距规律是有帮助的，因为（9）中所涉及的所有变量都是机构可以测量和控制的，然而交通相关的变量，无疑都是影响车头时距规律的，这些变量一般都不是交通机构所能控制的。
如果我们进一步假定服务强度是恒定的，而且到k站台之前的所有站公交的驻留时间是恒定的，等式（9）就可以继续简化，那么就变成了rho;k-1=hellip;hellip;=rho;3=rho;2=rho;1=rho;；dp k-1=hellip;hellip;=dp 3=dp 2=dp 1=dp。然后（9）可以被写成以下公式：
其中kge;2 （10）
图一 公交车头时距和驻留时间
因此，站台k的车头时距规律被写成发车时间间隔低于阈值的概率。换而言之，一条线路中在任何站台k的车头时距规律和发车时间表有关。如果发车概率已知，那么车头时距规律理论上可以被（10）确定。等式（9）和（10）为车头时距规律在作为交通服务参数方面提供了数学公式和解释。
可以很直观的预测到（10）得出的概率随着公交行程的增加而减小（既公交停靠次数变多）。事实上当Hb ＞dp/rho;时（10）是个与停靠次数相关的递减函数（通过设置等式（10）中右边两项）。也就是说，如果在站台车辆的驻留时间足以让所有乘客上车而且还保持车头时距在最大预期范围之内，那么车头时距可靠性随着停靠次数的增加而减少。否则，可靠性实际上在乘客的观点上是随着行程的增加而增加，因为车辆来的很频繁而不是很必要（详见图一）。
2.案例研究
在本章节中，上述的车头时距规律测度方法被用来评估芝加哥市中心一条CTA[15]公交线路。CTA服务于芝加哥市中心和周围40个郊区的150条线路（见图2），包括了超过2100辆公交车和2273英里的长度。CTA每
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