Proceedings ofthe 1998 IEEE
International Conference on Robotics amp; Automation
Leuven, Belgium May 1998
A practical approach to feedback control for a mobile robot with trailer
F. Lamiraux and J.P. Laumond
LAAS-CNRS
Toulouse, France
{florent ,jpl}@laas.fr
Abstract
This paper presents a robust method to control a mobile robot towing a trailer. Both problems of trajectory tracking and steering to a given configuration are addressed. This second issue is solved by an iterative trajectory tracking. Perturbations are taken into account along the motions. Experimental results on the mobile robot Hilare illustrate the validity of our approach.
1 Introduction
Motion control for nonholonomic systems have given rise to a lot of work for the past 8 years. Brockettrsquo;s condition [2] made stabilization about a given configuration a challenging task for such systems, proving that it could not be performed by a simple continuous state feedback. Alternative solutions as time-varying feedback [l0, 4, 11, 13, 14, 15, 18] or discontinuous feedback [3] have been then proposed. See [5] for a survey in mobile robot motion control. On the other hand, tracking a trajectory for a nonholonomic system does not meet Brockettrsquo;s condition and thus it is an easier task. A lot of work have also addressed this problem [6, 7, 8, 12, 16] for the particular case of mobile robots.
All these control laws work under the same assumption: the evolution of the system is exactly known and no perturbation makes the system deviate from its trajectory.Few papers dealing with mobile robots control take into account perturbations in the kinematics equations. [l] however proposed a method to stabilize a car about a configuration, robust to control vector fields perturbations, and based on iterative trajectory tracking.
The presence of obstacle makes the task of reaching a configuration even more difficult and require a path planning task before executing any motion.
In this paper, we propose a robust scheme based on iterative trajectory tracking, to lead a robot towing a trailer to a configuration. The trajectories are computed by a motion planner described in [17] and thus avoid obstacles that are given in input. In the following.We wonrsquo;t give any development about this planner,we refer to this reference for details. Moreover,we assume that the execution of a given trajectory is submitted to perturbations. The model we chose for these perturbations is very simple and very general.It presents some common points with [l].
The paper is organized as follows. Section 2 describes our experimental system Hilare and its trailer:two hooking systems will be considered (Figure 1).Section 3 deals with the control scheme and the analysis of stability and robustness. In Section 4, we present experimental results.
2 Description of the system
Hilare is a two driving wheel mobile robot. A trailer is hitched on this robot, defining two different systems depending on the hooking device: on system A, the trailer is hitched above the wheel axis of the robot (Figure 1, top), whereas on system B, it is hitched behind this axis (Figure l , bottom). A is the particular case of B, for which = 0. This system is however singular from a control point of view and requires more complex computations. For this reason, we deal separately with both hooking systems. Two motors enable to control the linear and angular velocities （，) of the robot. These velocities are moreover measured by odometric sensors, whereas the angle between the robot and the trailer is given by an optical encoder. The position and orientation（,,）of the robot are computed by integrating the former velocities. With these notations, the control system of B is:
（1）
Figure 1: Hilare with its trailer
3 Global control scheme
3.1 Motivation
When considering real systems, one has to take into account perturbations during motion execution.These may have many origins as imperfection of the motors, slippage of the wheels, inertia effects ... These perturbations can be modeled by adding a term in the control system (l),leading to a new system of the form
where may be either deterministic or a random variable .In the first case, the perturbation is only due to a bad knowledge of the system evolution, whereas in the second case, it comes from a random behavior of the system. We will see later that this second model is a better fit for our experimental system.
To steer a robot from a start configuration to a goal, many works consider that the perturbation is only the initial distance between the robot and the goal, but that the evolution of the system is perfectly known. To solve the problem, they design an input as a function of the state and time that makes the goal an asymptotically stable equilibrium of the closed loop system. Now, if we introduce the previously defined term in this closed loop system, we dont know what will happen. We can however conjecture that if the perturbation is small and deterministic, the equilibrium point (if there is still one) will be close to the goal, and if the perturbation is a random variable, the equilibrium point will become an equilibrium subset.But we dont know anything about the position of these new equilibrium point or subset.
Moreover, time varying methods are not convenient when dealing with obstacles. They can only be used i
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1998年IEEE会议记录
国际机器人与自动化大会
勒芬，比利时，1998年五月
一种关于带拖车移动机器人反馈控制的实用方法
F. Lamiraux and J.P. Laumond
拉斯，法国国家科学研究中心
法国图卢兹
{florent ,jpl}@laas.fr
摘要
这篇论文提出了一个有效的方法来控制一个带拖车的移动机器人。其中解决了两个问题：基于给定配置的轨道跟踪和转向。其次的问题通过迭代轨道跟踪来解决。计算运动时同时将扰动考虑在内。Hilare移动机器人的实验结果表明这种方法的有效性。
1 介绍
在过去的八年里，非完整系统的运动控制得到了大力发展。布莱特条件使得在这样系统中给定配置的稳定性成为一项有挑战的任务，证明了它并不能由一个简单的连续反馈来拟合。随后，研究人员开始考虑不寻常的解决方法，如时变反馈和不连续反馈。可以看到，一项关于移动机器人运动控制的调查已经进行。在另一方面，非完整系统的轨道跟踪并不满足布莱特条件，因此这是一个更简单的任务。在很多工作中，这个关于移动机器人特定情况的问题也有被提出。
这些所有的控制定律都基于相同的假设：系统的演变是确切可知的，并且没有扰动会使系统偏离轨迹。很少有关于移动机器人控制的论文考虑到带入运动学公式计算扰动。但是有论文基于迭代轨迹跟踪提出了一个方法来稳定一种配置的小车，有效地控制矢量域的扰动。
障碍的出现使达到规定路径的任务更加艰难，并且执行任何运动之前都需要进行路径规划。
在这篇文章中，我们基于迭代轨迹跟踪提出了一个有效的计划，来引导带拖车机器人到达规定路径。扰动由[17]中详述的运动规划器计算，这样可以避免输入时产生阻碍。接下来，我们并不会对此规划器做人和改进，而是为了详细信息查阅它的参考资料。另外，我们假设给定轨迹的运行受扰动的影响。我们选择的扰动模型非常简单和普遍，它代表了[1]中的一些共同点。
这篇文章如下安排。第二章描述了我们的试验系统Hilare，它的拖车：双钩系统会考虑在内（图1）。第三部分涉及控制规划以及稳定性和有效性分析。在第四部分，我们给出实验结果。
2 系统描述
Hilare是一个双轮驱动移动机器人。一辆拖车钩在这个机器人上，根据钩子装置，有两种不同的系统：在A系统中，拖车钩在机器人的轮轴上（图1上图）；而在系统B中，拖车钩在机器人的轮轴后方（图1下图）。A是B的一种特殊情况，即Ir=0时。这个系统只是从控制的角度来看的，它还需要更多复杂的计算。因此，我们把两种钩子系统分开来处理。两个电机用来控制机器人的线速度和角速度（vr，omega;r）。这些速度不仅由位移传感器测量，机器人和拖车的角度psi;还是用光编码器得出的。机器人的位置和方向（xr,yr,theta;r）是由前面的速度几分算出的。有了这些符号，B的控制系统为：
（1）
图1 Hilare和它的拖车
3 整体控制设计
3.1 动力
当考虑到实际的系统，在运动时，还有一些因素需要在计算扰动时考虑进去。这些可能由很多原因引起，如电击的缺陷，轮子的滑动，惯性的影响等hellip;这些扰动可以通过在控制系统中增加一个周期来建模，从而得到一个新的系统形式。
上式中ε可能是一个确定量也可能是一个随机变量。在第一种情况中，扰动只是起源于对系统变化的认知不够；而在第二种情况中，它产生于系统地一个随机行为。我们随后会看到第二种模型更符合对我们的实验系统。
为了控制机器人从起点沿路径到达终点，许多论文认为扰动只是机器人离到达终点最初的障碍，但这些都是在系统变化确切可知的情况下。为了解决这个问题，他们设计了一个状态和时间的输入函数，来使终点成为闭环系统的渐进稳定平衡点。现在，当我们在这个闭环系统中引入前面定义的周期ε，我们不知道会发生什么。我们只能推测这个扰动是否微小和确定，平衡点（如果有的话）会趋近于终点，又或者扰动是否是随机变量，平衡点会成为平衡子集。但我们对于这个新的平衡点或平衡子集一无所知。
另外，当处理障碍时，时变方法会不方便。这只适用于终点附近区域，而且这个附近区域必须正确地定义来确保闭环系统的轨迹没有冲突。让我们注意一下，非连续的状态反馈不能运用于实际机器人的情况，因为速度中的间断会导致无穷大的加速度。
我们提出的在有障碍时达到预定路径的方法如下。我们首先使用[17]中描述的无冲突路径规划器在现有配置和终点之间建立一个无冲突的路径，然后我们用一个简单的跟踪控制规则沿轨迹运行。在运行结束后，机器人由于各种扰动从未准确地达到终点，但是到达了终点附近区域。如果某个配置到达时离终点太远，我们会计算另一个之前使用过的轨迹。
现在，我们会介绍我们的轨迹跟踪控制规律，然后提出关于我们整体迭代设计的有效性问题。
3.2 轨迹跟踪控制规律
在这一章，我们只涉及系统A。系统B的计算指令会更简单（见3，4章）。
图2 单独机器人的轨迹控制规律
研究人员已经提出了很多不带拖车轮式移动机器人的轨道控制规律。其中有一种虽然很简单，但是效果很好。假设（x，y，theta;）是真实机器人框架中的参考机器人的坐标（图2），且假设vr0和omega;r0是参考轨迹的输入参数，这条控制规律有以下表达式：
（2）
下面是这条控制规律的中心思想：当机器人向前进，拖车不需要很稳固（如下）；因此我们把（2）运用到机器人上。当机器人后退，我们定义一个虚拟机器人（xr，yr，theta;r）（如图3），它与真实机器人关于拖车轮轴对称。
接着，当真是机器人后退，那么虚拟机器人就前进，同时虚拟系统在运动学上与真实机器人相等。于是，我们可以把运动控制定律（2）运用在虚拟机器人上。
图3 虚拟机器人
这时就有一个问题了：当机器人前进时拖车真的一直保持稳定吗？下面几章会回答这个问题。
3.3 拖车的稳定性分析
我们假设这里是前进的情况（vr=0），通过虚拟机器人的转换，后退运动和前进运动是一样的。让我们用表示一条参考轨迹，用表示系统的真实运动。我们假设机器人准确地沿着它的参考轨迹走：，并且我们将注意力集中到拖车偏差。偏离的变化简单地由Ir=0时系统（1）推断出来：
可见将会减小，当：
（3）
我们的系统总是受不等量的约束：
（4）
因此和（3）与下列式子相等：
（5）
图4展示了在给定的情况下减小的范围。我们可以看到，根据约束（4）的定义，这个域包含了拖车的所有位置。另外，前面的计算可以很容易看出0是变量的渐进稳定值。
于是，当真实或虚拟机器人沿着自己的轨迹前进，那么拖车也是稳定的并且汇聚成自己的参考轨迹。
图4 的稳定范围
3.4 对于系统B的虚拟机器人
当拖车钩在机器人后面，模型结构甚至更简单：我们可以把虚拟机器人换成拖车。事实上在这样的情况下，机器人的速度和拖车的速度通过一对一的映射联系起来。虚拟机器人的配置就由以下系统给出：
通过考虑钩连点的运动，之前的稳定分析同样可以使用。
下文解决了我们迭代设计的稳定性。
3.5 迭代设计的稳定性
现在我们来展示我们之前描述的迭代设计的稳定性。为此，我们需要一个机器人运动时扰动变大的模型。[1]在对系统了解不足的情况下对扰动建立了模型，得出了矢量域的确定变化。在我们的实验中，由于一些钩连系统的表现，我们观察了随机扰动。这些扰动很难建模。为此，我们对这些扰动只作了两个简单的假设：
上式中s是规划路径的横坐标曲线，和分别是真实和参考配置，是系统配置空间的距离，和是确定的常量。第一个不等式的意思是真实和参考配置之间的距离和规划路径的距离成比例。阻止系统远离参考轨迹的轨迹跟踪控制规律确保了第二个等式的成立。让我们指出这些假设非常实际，并且适用很多扰动模型。
我们需要知道每次重复得到的路径长度。我们使用来计算这些路径的控制方法证实了一个拓扑特性，可以对短期操控进行解释[17]。这意味着如果终点离起点配置足够近，那么计算出的轨迹保持在起点配置附近。在[9]中，我们给出了一个关于距离的预测：如果和是两个足够近的配置，规划路径中两者间的距离被证实：
其中是一个确定的常量。
因此，如果i变化后是配置一次获得的，我们有以下不等式：
这个不等式确保距离受数列上约束，确定数值的定义如下：
并且在足够的迭代次数后，会向趋近。
于是，我们并没有在终点配置得到渐进平衡点，但它的结果确保了这个配置附近稳定域的存在。这个结果本质上来源于我们选择的非常普遍的扰动模型。让我们重复一遍，包括这些扰动模型，一个时变控制规律会毋庸置疑地损失它的渐进稳定性。以下部分的试验结果表明，无论如何，我们的控制设计的趋近域是非常小的。
4 实验结果
我们现在展示的是我们拖着拖车的机器人Hilare分别在系统A和B时得到的实验数据。图5和图6显示了由运动规划器计算出的初始形态和最终形态之间的首选路径的例子，包括第二种情况下最终计算出的策略。以下是两种钩子系统的长度：A系统中，cm；B系统中cm， cm。表1和表2给出了三次实验中初始和最终形态的位置以及一次两次运动后到达的形态和终点的间距。在两种情况下，第一次实验与计算值一致。清空列意味着在第一次运动后到达的精度已经足够了，不需要执行更多操作。
图5：系统A：最初和终形态以及追踪到的第一路径
图6：系统B：最初和最终形态以及最终到的第一路径
意见和评论：表1和表2中报告的结果带来两种意见。第一，系统达到的精度已经令人满意了；第二，迭代的数量很少（在1~2之间）。事实上，精度很大程度上取决于不同运动的速度。机器人最大的线速度是50cm/s。
5 结论
我们在这篇文章中提出了一个控制带一个拖车的机器人的方法，来控制机器人从初始形态到达问题中给定的终点。这个方法基于一种结合开环和闭环控制的迭代法。它在大范围的扰动模型中显示出有效性。这种有效性来源于[17]中介绍到的控制方法的拓扑性质。即使这种方法没能让机器人准确地聚在终点，实际实验中它到达的精度也非常令人满意了。
表1：系统A：初始和最终形态，
第一次和第二次到达的形态到终点的间隙
表2：系统B：初始和最终形态，
第一次和第二次到达的形态到终点的间隙
参考文献
[1]M. K. Bennani et P. Rouchon. Robust stabilization of flat and chained systems. in European Control Conference,1995.
[2]R.W. Brockett. Asymptotic stability and feedback stabilization. in Differential Geometric Control Theory,R.W. Brockett, R.S. Millman et H.H. Sussmann Eds,1983.
[3]C. Canudas de Wit, O.J. Sordalen. Exponential stabilization of mobile robots with non holonomic constraints.IEEE Transactions on Automatic Control,Vol. 37, No. 11, 1992.
[4]J. M. Coron. Global asymptotic stabilization for controllable systems without drift. in Mathematics of Control, Signals and Systems, Vol 5, 1992.
[5]A. De Luca, G. Oriolo et C. Samson. Feedback control of a nonholonomic car-like robot, 'Robot motion planning and control'. J.P. Laumond Ed., Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer Verlag, to appear.
[6]R. M. DeSantis. Path-tracking for a tractor-trailerlike robot. in International Journal of Robotics Research,Vol 13, No 6, 1994.
[7]A. Hemami, M. G. Mehrabi et R. M. H. Cheng. Syntheszs of an optimal control law path trackang an mobile robots. in Automatica, Vol 28, No 2, pp 383-387, 1992.
[8] Y. Kanayama, Y. Kimura, F. Miyazaki et T.Nogushi.A stable tracking control method for an autonomous mobile robot. in I
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