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基于几何精确梁理论的无梁框架有限元
P.Betsch与P.Steinmann
摘要：本文提出了一种新的基于几何精确梁的有限元计算公式理论。与先前提出的许多梁有限元公式不同，目前的离散化方法保留了底层梁理论的框架无关性（或客观性）。旋转自由度的空间插值通过引入弱形式的重新参数化来避免，该形式对应于几何精确射束理论的运动方程。
关键词：非线性梁单元；有限旋转；约束
导论
本文的主题是梁有限元的设计，用于计算机模拟空间中的大变形。起源于Simo的工作，
深层的几何精确梁理论一直是许多已发表的非线性梁有限元法的核心构想。然而，最近Crisfield与Jelenic证明了前面提到的大多数梁有限元不是在刚性运动下不变的。这些公式缺乏框架无关性是由离散应变方法引起的，如参考文献中所示，这些方法不继承底层连续梁应变的客观性。离散化的缺陷与三维有限旋转不会转换的事实密切相关。因此，可以将大旋转的非矢量性质与矢量旋转的空间插值结合起来，确定为离散束应变的非客观性来源。事实上，几何上精确的梁理论的有限元离散化通常依赖于矢量旋转的空间插值。在这方面，我们参考Jelenic和Crisfield来研究采用（迭代，增量或总和）向量旋转的替代插值过程以及有关非不变性和路径依赖性的相关结果。
在本工作中，我们规避了矢量旋转的空间插值。拟定的有限元离散化依赖于会导致框架无关梁单元的导向向量的等参插值。相应于几何精确射束理论的运动方程式，对常用的弱形式进行重新参数化可简化此方法。弱形式的这种重新形式描述会在第2节中详细介绍。相应的有限元公式在第3节中介绍。在第4节中包含对所提出的梁有限元的数值性能的评估。最后，在第5节中汇总结论。
几何精确梁公式
2.1基础梁理论概要
在本节中，我们对与随后的计算处理有关的梁理论进行了概述。我们参考Antman的书中对内在杆理论和诱导杆理论进行详尽的论述。基于Simo的论文，本文所考虑的杆理论考虑了有关空间中经受大变形的梁的计算处理的最新文献，可以解释为特定视角下Cosserat棒的特殊理论。相应的运动方程可以用经典形式表示：
（1）
中的量将在下面指定。在本文中，变量名用于重复引用。此外，希腊指数取值为1和2，而拉丁文指数的范围是1到3。
运动学假设：梁在欧几里德三维空间中的运动受限于物质点位置的假设，可以参考在时间时结构B的位置矢量来确定，可以描述为：
（2）
其中，是三个对流坐标；曲线的弧长为。为了简化说明，不考虑概念上的限制，假定与质心线重合。然后，在（1）式中，q =0。正交方向矢量表征在s和时间t处的横截面构造。此外，定义，这里偏导数缩写为。方向导向与引入旋转张量而在空间上固定的正交基础有关，因此
（3）
这意味着存在关系
（4）
因此，梁的大致结构定义为
（5）
关于通过有限元方法进行空间离散化，主要问题涉及或的近似值，以说明其正交性。的正交性也可以通过以下形式的六个独立约束方程表示：
（6）
这里是可罗内克尔Delta参数。（完整的）约束意味着方向的容许偏差被给定了：
（7）
或者：
（8）
其中是斜对称的，即，在关联的轴向量下，即对所有。总而言之，对于方程式（2），允许的变化由来表征。
应力处理：涉及到梁理论的应变-配置关系可以用物质形式写成：
（9）
由于是斜对称的，因此可以用相关的轴向矢量表示为:
（10）
其中是交替符号。 鉴于（9）式中的材料应力处理措施，相应的空间应力被给定：
（11）
应变变量的解释可以在Antman 中找到。测量剪切力，测量膨胀，测量弯曲，测量扭转.
本构方程:我们专注于超弹性材料模型，其中存储能量函数W的形式为，然后，本构方程采用以下形式：
（12）
这样物质的结果为。相应的空间结果由表达式给出。
运动方程的弱形式：与（1）中的运动方程式相对应的变分形式可以写成：
（13）
这里表示内部虚功的贡献给定为：
（14）
惯性项的贡献特征是：
（15）
其中是每参考长度的质量密度，是通过定义的随时间变化的空间惯性张量，其中
（16）
与时间无关的分量可以解释为横截面的惯性矩。等式（13）中的向量表示空间角速度，与等式（7）和（8）相似，它表示关系
（17）
关于（1）中的运动方程，是相对角动量。此外，等式（13）中的解释了外力和对的作用。它采用以下形式：
（18）
为简单起见且不失一般性，仅考虑了Dirichlet类型的规定边界条件。因此，等式（13）对于在梁的边界处，即在端点处的条件，必须适用于任意。
有限元公式：如上所述，许多用于在空间中经受大变形的梁的有限元公式都依赖于弱形式（13）。等式（13）的特定形式表明对某种旋转自由度进行插值。但是，由于有限旋转的不可交换性，旋转自由度的空间插值容易破坏离散模型中应变度量的客观性。 Crisfield和Jelenic已证明了这一点。为了克服这个问题，Jelenic和 Crisfield提出了相对于基于单元的参考三重轴的局部旋转插值的方法，类似于共旋转有限元公式。
在目前的工作中，我们提出了一种替代的离散化方法，该方法保留了基础连续配方的应变不变性。为此，我们以另一种形式改写了弱形式方程（13）。
2.2方向上的弱形式的制定
本节的目的是使用矢量三元组来使弱形式（13）参数化。这种方法将有助于实现不依赖旋转自由度插值的几何精确梁理论的有限元实现。
关于等式（6）中的约束，梁的可能结构也可以通过约束集来表征：
（19）
因此，的函数空间被限制为由边条件定义的特定流形。使用公式（4），即，表示关系，等式（9）和（10）中的材料应变量度可以用另一种形式表示：
（20）
除此之外，可以轻松地验证线性应变量度的以下替代表达式：
（21）
和：
（22）
因此，内部虚功（14）的另一种表示形式为：
（23）
接下来考虑与惯性项相对应的虚拟功表达式（15）。基于等式（16）和（17）的简单计算得出关系：
（24）
这样的另一种形式是：
（25）
如果外部载荷可以从势函数导出，则：
（26）
可以将与外部负荷相对应的虚功表达式（18）重写为：
（27）
约束弱形式：考虑到我们随后的有限元离散化，我们接下来借助Lagrange乘数技术来执行边条件（6）。因此，梁的任意结构由指定，集合现在指定为:
（28）
除此之外，我们引入拉格朗日乘数，其中：
（29）
乘数与六个独立的约束方程式相关联。运动方程的弱形式现在可以写成：
（30）
上面已经指定了，而给定为：
（31）
对于任意和，必须满足适当的边界条件，必须满足公式（30）。在纯Dirichlet边界条件下，和必须在梁的端点消失。
有限元公式
在本节中，我们提出了与现有几何精确梁理论有关的，由弱形式（30）引起的替代有限元公式。与以前的基于几何精确梁理论的有限元公式相反，我们没有应用旋转自由度的任何插值。
让我们考虑域，其关联的节点为。离散梁的可能配置以节点量为特征。空间中的有限元插值给定为：
（32）
其中是Lagrange型节点形状函数。同样，测试函数由插值公式近似：
（33）
将上述有限元近似值插入方程式（23），（25）和（27）可得出离散形式：
（34）
在我们进行离散化过程之前，我们证明了基于（32）中的插值公式的离散应变测量在刚性运动下是不变的。
离散应变测量的客观性：等式（20）中材料应变的离散对应项继承了基础几何精确梁理论的客观性。为此，请考虑由以下项定义的离散梁的刚性运动：
（35）
其中。关于方程式（20）和（32），可得：
（36）
由于完整性条件，其中一个有。此外,因此：
（37）
这意味着：
（38）
类似地，对于所有取。因此，对应于等式（32）中的插值公式的离散应变测量在刚性运动下是不变的。与此相反，大多数基于旋转自由度插值的梁元素对帧无影响。
方向约束的补偿：为了完成弱形式（30）的空间离散化，仍然需要指定与拉格朗日乘子相关的检验和试验函数的处理方式，以强制执行的正交性。为此，我们选择：
（39）
其中基函数与与有限元离散化的节点相关的狄拉克增量一致。因此，我们设：
（40）
这样等式（31）的相应离散形式采用特定形式：
（41）
我们的方法可以解释为搭配方法，其中有限元节点充当指导者约束实施的搭配点。因此，离散指向矢场的正交性被限制在节点上。
3.1约束有限元公式
从这里开始，我们将自己局限于静态情况。在即将进行的工作中讨论了与动态案例的时间离散有关的问题。对于静态情况，将上述有限元表达式代入平衡的弱形式（30）得出方程：
（42）
对于任意，它们必须成立，当然必须符合边界条件。可以通过应用任何标准的迭代求解程序求解节点量（）的非线性方程组的结果系统，例如牛顿-拉夫森法。
3.2无约束的有限元公式
通过采用不减少上述可能的梁结构的有限元近似的节点减少程序，可以显着减少节点未知数的数量。节点减少程序依赖于节点旋转自由度的引入。鉴于（3），每个节点导向框架可以由旋转张量指定，因此:
（43）
然后，关于等式（7），节点导向的容许变化形式为：
（44）
在迭代求解过程中，可以通过乘法更新公式来方便地更新节点导向框架：
（45）
其中是迭代索引，包含三个节点迭代旋转自由度，而表示指数映射的闭合形式，通常称为Rodrigues公式。在参考文献中可以找到替代旋转更新概念的概述。
将拟议的节点简化程序应用于受约束的有限元公式（42），可得出不受约束的公式：
（46）
它必须保持任意（）都再次受制于适当的边界条件。这里（34）插入（44）得：
（47）
类似地，可以从等式（34）获得。由于的任意性，（46）表示一个非线性代数方程组。通常可以通过应用标准迭代求解程序来求解它们的节点数量。
代表性数值研究
在本节中，我们将研究新开发的梁有限元的数值性能。我们的数值实验证实，第3.1节中的约束公式和第3.2节中的无约束公式产生相同的数值结果。因此，我们仅报告不受约束的公式的结果，以下简称“ 公式”。
为了进行比较，我们还基于Simo和Vu-Quoc [2]实现了梁单元，该梁基于迭代旋转的插值。 我们在以下称此公式“ 公式”。
在数值示例中，假定超弹性材料的行为由储能函数控制：
（48）
其中：
（49）
应用简化的正交公式，即线性元素一个高斯点，二次元素两个高斯点。
4.1平面平衡问题
我们的数值研究首先关注平面平衡问题。在平面情况下，有限的旋转会发生变化，因此旋转自由度的插值通常会保留基本梁理论的客观性。本部分的主要目的是证明我们提倡的公式与基于旋转自由度插值的公认公式更好。
比较苛刻的平面示例包括铰接直角框架的屈曲，请参见图1。该示例的数据取自参考文献[2]。因此，
十个二次元用于离散化问题。在未变形的配置中，将静载荷施加到位置矢量的节点上（参见图1）。从图2可以看出，公式和公式都导致几乎无法区分的结果，图2显示了节点在载荷下的载荷-位移曲线。 此外，图1描绘了许多与载荷水平参数对应的变形构造。通过使用标准弧长方法获得了结果。
图1.铰接式直角框架的屈曲：初始网格和对应于载荷级别参数的变形构造。
4.2空间平衡问题
作为空间平衡问题的代表性示例，我们接下来考虑图3所示的著名悬臂弯曲。刚度属性为。弯曲部的一端被夹紧，而另一端则以恒定值的力起作用。
我们首先研究手头梁假设的收敛性。为此，图4显示了各种均匀网格在载荷下位移分量的结果。因此，对于由8个线性元素组成的粗网格，公式和公式之间的相对差异仅为大约2％。同样，对于由四个二次元组成的粗网格，公式和公式之间的相对差异小于0.2％。
图2.铰接式直角框架的屈曲：载荷作用下的载荷-位移曲线。
图3.3D悬臂弯曲：问题描述
4.2.1数值客观性测试
接下来，我们对公式的客观性进行了数值验证。为此，我们再次考虑图3中的悬臂弯曲。代替上一个示例中的恒定力，我们现在应用表1中所示的加载周期。因此，从无力的初始（自然）状态（初始负载水平）开始，由表1中所示的一系列负载水平
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