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基于模态和功率谱的FDM彩色3D打印机振动特性优化
摘 要：为提高熔融沉积成型（FDM）彩色3D打印机打印彩色零部件的精度，对其振动特性进行了研究。首先，利用力学原理对FDM彩色3D打印机的模型进行了定性简化，提供了研究结构动态特性的理论基础，并利用ANSYS (工程仿真和三维设计软件) Workbench 对其进行了有限元模态分析，得到了FDM彩色3D打印机的固有频率和振型位移。然后，通过频域分析测量了前一代FDM彩色3D打印机振动信号的功率谱，并比较有限元分析与实验分析的结果，得到了3D打印机的共振位置。最后，在此结果的基础上，对彩色3D打印机进行了设计优化。结果表明，优化后的方案可以有效地改善装置的共振特性，降低整体模态位移。3D打印样机的应用实验结果表明，优化后的装置精度得到了提高，对FDM彩色3D打印机的开发具有重要的参考意义。
关键词：FDM彩色3D打印机；打印精度；振动特性；模态分析；功率谱
１ 引言
随着3D打印技术的飞速发展，3D打印技术的应用也越来越广泛[1-3]。近年来，由于个性化定制的需求，彩色3D打印技术发展迅速[4-5]。对于FDM 3D打印机，主要用于彩色打印的多喷嘴协同工作模式将导致一系列的问题[6-7]。一方面，3D打印机独特的打印方式导致其准确性一直是它的难题，并在一定程度上限制了它的发展[8-10]，特别是打印彩色产品时，由于色彩边界的存在，其低精度的表面极易凸显，因此FDM彩色3D打印机的精度要求更高[11]；另一方面，随着彩色多喷嘴装置的诞生和迭代改进，整个喷嘴的重量比单喷嘴的重量有所增加[12]，喷嘴的振动特性是影响打印精度的关键因素之一。在打印过程中，如果振动频率接近3D打印机的固有频率，3D打印机就会产生共振，严重影响打印精度，甚至导致打印失败[13-14]。徐等人[15]分析了片层厚度、挤出速度和印刷速度对印刷表面粗糙度的影响，得出了改善打印件表面质量的最有效方法。韩等人[16]采用正交试验法分析了FDM 3D打印机的工艺参数，发现层厚是影响FDM 3D打印机精度的主要因素。Armillotta等人[17]确定了影响翘曲变形的因素并初步判断各因素的单独和交互作用效果，发现在零件高度的中值处的最大变形量，主要与热传导和弯曲应力有关。Mohamed等人[18]为解决以往常规设计的局限性，提出了一种最优准则以优化FDM工艺参数。目前国内外对于如何利用参数优化方法提高打印精度进行了一些研究，但还没有研究机械振动对打印精度的影响。因此，研究3D打印机的振动特性对提高打印精度至关重要。
有限元分析是一种通过数学近似来模拟实验条件的仿真方法。其原理是在未知数有限的条件下，通过简单并相互作用的元素可以模拟一个无限未知的真实系统。毕[19]对并行3D打印机进行了仿真，并做了一系列的动力学和性能分析。Tlegenov等人[20] 提出了一种利用振动传感器监测FDM 3D打印机喷嘴状态的方法，通过测量挤出机的振动来检测3D打印机喷嘴的堵塞情况。Azmi等人[21]分析了网格结构杆对3D打印机振动特性的影响，并对模型进行了振动试验，以求得其固有频率。由于研究人员主要使用实验分析或有限元分析来分析3D打印机的机械结构，因此这些论述是不充分的。上述研究者所获得的数据在一定程度上反映了结构的内在特征，但不够全面。本研究所采用的方法是一种基于实验分析与有限元分析相结合的综合方法。首先对彩色3D打印机进行了模态分析，计算出彩色3D打印机的低阶固有振动频率及其对应的模态位移，然后通过实验获得振动信号，通过对振动信号的分析得到功率谱。最后分析了彩色3D打印机的共振特性，确定了彩色3D打印机各部件的振动强度分布和抗振弱区，改进了机械结构，优化后的彩色3D打印机在打印过程中的抗振性能得以提升。
2 方法
该方法包括对FDM彩色3D打印机机械结构的理论建模，对整个机械结构的振动特性分析。振动特性分析又包括时域分析和频域分析，这部分将在下一章节论述。
2.1 FDM 3D打印机整体结构的简化
为简化计算，消除不确定因素对本文研究结果的影响，对FDM彩色3D打印机的部分结构进行了简化。如图1和图2所示，将主梁、横梁、喷嘴简化为悬臂梁结构，热床两端的支承可简化为简支梁结构。因此，在适当的边界条件下，可以对整个结构进行简化和分析。通过以下的力学理论分析，可以定性地研究FDM彩色3D打印机结构的振动特性。
图1 彩色3D打印机的整体结构 图2 彩色3D打印机喷头的结构
本文给出了悬臂梁和简支梁的结构简图，如图3和图4所示。
图3 悬臂梁结构简图 图4 简支梁结构简图
假设梁具有均匀的材料特性和统一的界面，梁模型的动力方程为[22]：
（1）
式（1）中，为梁的横向位移，为作用于梁上的瞬时量，为作用在梁上的力，为单位体积光束的质量，为梁的横截面积，为梁的杨氏模量，为梁截面对中性轴的惯性积。可以写成：
（2）
式（2）中，为系统的I-th模式，为广义坐标，模态模式应通过模态解来计算：
（3）
式（3）中，为边界条件常数，为特征值。在目前的研究中，杆被模拟为一个固定的悬臂梁，因此梁的固定端的挠度和截面角等于零，自由端的弯矩和截面剪力等于零。将悬臂梁的边界条件定义为：
（4）
（5）
将边界条件（4）和（5）应用于模态方程（3）之后，可以导出（6）
（6）
式（6）中，为梁的长度。通过求解，可将各阶固有频率定义为：
（7）
每一阶对应的模态函数是
（8）
在目前的研究中，温床可以简化为简支梁结构。因此梁的挠度和截面弯矩等于零。简支梁的边界条件可以定义为：
（9）
（10）
将边界条件（9）和（10）应用于模态方程（3）后，可以推导出（11）：
（11）
式（11）中，为梁的长度，通过求解，可将各阶固有频率定义为：
（12）
因此各阶次对应的模态函数为：
（13）
2.2 FDM彩色3D打印机的建模与模态分析
运用相关力学理论对典型框架式FDM彩色3D打印机的振动特性进行了分析，结果表明，从振动理论上对3D打印机结构进行分析是可行的。因为3D打印机是一种实用的制造工具，经严密的理论分析得到的结果，可用于优化其制造工艺。在力学理论的基础上，采用有限元法对模型的固有频率和模态位移进行了分析，该方法简化了分析流程，减少了耗时，提高了振动分析和测试的效率。最终提高FDM彩色3D打印机结构优化的效率。
FDM彩色3D打印机主要由多喷嘴、热床、横梁和主梁组成。整体尺寸为360mmtimes;230mmtimes;350mm。 彩色3D打印机模型如图5所示。
图5 彩色3D打印机模型
有限元建模直接影响计算结果，因此必须考虑模型简化、网格数目、单元类型、网格质量等因素，在考虑影响仿真精度的关键因素之后，简化彩色3D 打印机的模型。在彩色3D打印机模型中，忽略直径小于10mm的工艺孔，过渡圆角等效为直角，忽略直径小于10mm的非键位螺栓孔。建立的彩色3D打印机的有限元模型如图6所示。
图6 彩色3D打印机的有限元模型
温床、底座、主梁和喷嘴上部均采用铝合金材料制造，喷嘴下部采用铜材料制造，X、Y、Z 轴导轨采用Q235钢制造，横梁和步进电机底座采用ABS树脂制造。表1详细介绍了FDM彩色3D打印机所使用的材料特性。
表1 FDM彩色3D打印机的材料特性
|
材料 |
弹性模量（GPa） |
泊松比 |
密度（kg/m3） |
|
ABS树脂 |
3 |
0.394 |
1050 |
|
铝合金 |
71 |
0.33 |
2770 |
|
Q235 |
207 |
0.29 |
7850 |
|
铜 |
119 |
0.326 |
8900 |
2.3 加速度计的选择和测量点的布置
本文主要采用MPU6050作为加速度传感器，Arduino作为数据采集器和数据处理器，对 FDM彩色3D打印机的振动响应进行测量。MPU6050的最小测量范围为2g，灵敏度为65536LSB/4g。在FDM彩色3D打印机的振动测试中，这个范围是完全足够的。采用数字信号处理方法对采集到的加速度数据进行分析，包括去噪、积分运算、快速傅立叶变换等。然后将处理后的数据传送到上位机。
根据模态分析的结果，在FDM彩色3D打印机上设置了四个测量点，如图7所示。
图7 振动测量点布置
测量点1置于喷嘴位置，测量点2置于温床位置，测量点3置于横梁位置，测量点4置于主梁位置。利用四个测量点分别测量了彩色3D打印机在水平(X)、纵向(Y)和垂直(Z)方向上的振动信号，进一步分析3D打印机的振动信号。
实验的参数设置如下：3D打印机的打印速度为65mm/s，振动测试采样频率为500Hz，分别采集了彩色3D打印机 X、Y、Z三个方向的时域振动信号。
2.4 3D打印机振动信号的统计分析过程
在彩色3D打印机上进行振动实验。采用MPU6050加速度传感器（2012，美国加州森尼韦尔的 InvenSense公司）和 Arduino 2560芯片（2013，中国哈尔滨的 ALSRobatBase公司）对彩色3D打印机的振动信号进行采集和测量。利用MATLAB软件（MATLAB 2014a，2014，美国马萨诸塞州内蒂克的MathWorks公司）对振动信号进行了时域和频域分析。
时域分析是指加速度传感器在打印过程中采集、记录和显示的加速度信息。分析所包含的信息量大，具有表达直观、易于理解的特点。频域分析是机械振动试验中最常用的信号处理方法之一。本文对彩色3D打印机进行了频谱分析。其目的是通过傅里叶变换将复杂的时间波形信号分解成若干个单一的谐波分量，从而得到信号的频率结构和一系列的谐波和相位信息。
通过对彩色3D打印机振动信号的时域和频域分析，得出了彩色3D打印机的几何特性和机械特性对振动信号的影响。通过对模态分析结果的比较，为彩色3D打印机的机械结构优化提供了解决方案。
振动信号的时域分析只能表征信号的幅值，这对振动信号的研究还远远不够。为进一步研究彩色3D打印机的振动信号，分析了振动信号的能量分布和频域结构，并对所获得的振动信号进行了功率谱分析。
快速傅里叶变换分析（FFT）是一种快速傅立叶变换（DFT）算法，被用来分析信号的频谱，它是根据DFT的特点对算法进行改进而得到的一种DFT离散傅里叶变换[23]。本文所进行的功率谱分析主要是通过MATLAB软件对采集的时域信号处理后进行分析得到的。
3 结果
3.1 彩色3D打印机的模态分析结果
彩色3D 打印机在打印过程中的振动是非常复杂的。为分析彩色3D 打印机振动的原因，通过模态分析获得彩色3D打印机的固有频率，包括彩色3D打印机的固有频率、模态方式以及振动产生的位移。
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