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附录A 译文
累积圆误差的泰勒展开
摘要
本文介绍了用于确定累积舍入误差相对于局部舍入误差的泰勒展开系数的解析和算法方法，从而确定了局部误差对累积误差的影响。不考虑二阶和更高阶系数，并且分析了减少大量存储需求的一些可能方法。
1.引言
当以有限的精度进行计算时，数值过程的结果值通常与结果的真实值不同。这两个值之间的差称为结果的累积舍入误差。这是由初始值中的错误以及每个中间操作中发生的局部舍入错误引起的。通常，可以将累积舍入误差扩展为相对于局部误差的泰勒展开式，从而可以发现局部误差对累积误差的影响，如Henrici [1]所述。在本文中，为此目的提供了解析和算法方法。该方法是在[2]和[6]中给出的方法的进一步发展。
通常，仅使用泰勒展开式[1]，[5]，[3]的一阶项就可以相当准确地估算出累积误差。因此，尽管较高阶是一阶系数，但本文的重点是确定一阶系数也考虑过。
对于泰勒展开系数的后验算法计算，有必要保存一些有关该过程所有操作的信息。所需的计算机存储量可能过大，并讨论了减少存储量的一些方法。
2.舍入误差的泰勒展开式。
计算过程通常由一个实数序列组成，例如,,...,。此序列中的一些数字是初始值，其他数字是由操作数（通常为两个）出现在序列中较早的操作产生的，即
⑴ , ,
当可以表示成 , ,,或者 。
在实际计算中，通常使用某个精度为t的浮点数代替非终止的实数。因此，如果将实数u的值通过四舍五入为t位数，则用浮点运算替换公式（1）
每个准确的结果均四舍五入为t位数。的局部（绝对）舍入误差(or ) 定义为
在某些连接中，考虑局部相对舍入误差会更有用
如果整个过程没有舍入错误，则将替换为 ,.的累计的圆误差 (or )是这两个数字的差，即.使用公式（1）和公式（3），公式（5）可以表示为
因此，使用泰勒展开式可以得出
其中 和由公式（5）定义。 括号中的公式（6）的系数的值下方分别用缩写符号,, , 和表示，分别表示值对的（1,0），（0,1），（2,0），（1,1） 和（0,2）
因此，可以得到
有了这些符号，（6）可以写成
其中代表相对于R的三阶和更高阶的术语。 例如，如果表示，则公式（7）等于.
表1.基本操作的⑺的一阶和二阶项的置信度
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表1列出了基本运算的某些系数d的值。表1中给出的运算的高阶项的系数为零（除法运算除外），在这种情况下， ,和 ,的和的系数分别为,和0，. 除了表1中给出的那些操作外，在将其他操作与单个本地错误联系在一起的意义上，其他操作也可以视为基本操作。 例如如果,那么（7）中的系数为,.
也可以根据 ,产生的和的操作数的累积舍入误差并根据它们获得与的表达式类似的表达式。 由于对于初始值，在经过有限的步骤后，将针对累积的舍入误差获得以下展开式：
（8）
其中c是一些标量系数，代表相对于r的三阶和更高阶。
扩展公式（8）是根据最高级误差给出的。自然地，就相对误差而言存在相应的扩展。 下面我们分析这两个展开系数之间的关系。
因此，公式（3）和公式（4）隐含着，因为根据公式（8）可以写成,,
代入（8）时，得出
⑼
.
可以看出，对于一阶系数，当使用相对误差而不是绝对误差时，只需要简单的修改即可。 阶数越高，系数之间的联系就越复杂。 以下内容仅限于绝对错误的考虑。
值得注意的是，如果是初始值，则公式（8）中的系数不依赖于用来生成的代数序列。实际上，由于公式（3）的线性，每个系数都是偏导数关于。更一般而言，公式（8）中的的系数c为初始值，等于
（10）
例如，如果，则和的系数w和的展开式（8）中的系数分别为和1，而与w是由还是由来计算无关。
如果我们在公式（8）中表示n阶项的总和，则公式（8）可以写成
（11）
相应地，（7）可分为以下几部分：
（12a）
（12b）
...
如在以下各节中将看到的，公式（12）可以有效地用于确定公式（8）的系数c。
3.泰勒系数的分析测定
对于相当简单的算法，可以使用递归公式（7）解析地确定公式（8）的系数。如果不是太复杂则可以解决一个差分方程。[l]例如，请考虑使用霍纳（Horner）方案对多项式的值进行计算。
多项式的值
（13）
使用Horner的方案进行计算可得
,
对公式（14）收益率的应用
（15a）,
（15b）,
（15c） .
在以下公式中包含零值舍入误差和的和，以简化索引编制。 由于和的x和系数是初始值，因此，用公式（15b）代替公式（15c），我们得到了差分方程
（16）
具有初始条件。 则公式（16）的解是
从公式（14）可以看出（18），
因此公式（17）可以写成
（19）
特别地，r（x）的系数被视为等于和在公式（13）中的系数。 这符合公式（10）。
泰勒展开式的高阶项可以以类似的方式确定。 利用公式（12）可以得到
是针对第m阶项获得， 由于x和的值是初始值，对于mgt; 1，
.因此，差异方程
是在初始条件下获得的。则公式（21）的解是
借助公式（19）和公式（18），递归使用公式（22）会得到
的最高阶非零项为.
上面的示例显示了如何使用公式（7）来解析地确定泰勒系数。 在霍纳方案的特殊情况下，这些系数实际上可以以一种非常简单的方式得出。 直接从公式（10）和公式（18）可以得出，的泰勒展开式中的系数等于
并且的系数等于
与公式（23）中给出的系数一致。 此外，当qgt; 1时，的系数显然为零，而公式（20）清楚地表明和的系数等于的系数。
4.泰勒系数的算法确定
公式（8）的系数c的后验确定算法基于与解析确定相同的原理。 当确定Rn的一阶系数时，该过程以n个周期进行。 在第（n-i）个循环中计算辅助系数，p = 1，...，n。 确定这些系数，以便确定公式（24）。
上面声明的系数的确定需要从每个操作中保存信息。 该信息量如此之大，以至于计算机存储实际使用的细节已包含在上述过程的算法表示中。 这表明外部文件可以用来保存额外的信息，而不是保存主存储器，从而可以考虑使用较大的数值过程[6]。
每个数字都保存为计算机存储单元的内容。在计算过程中，内容可以更改一次或多次。在计算机编程中，通过引用单元格和来表示产生的操作。其中包含关联的操作数。执行算法T（如下所示）的前提是，在每个这样的运算中，索引i，j和k以及结果的偏导数（保存在中；请注意，在算法中，i，j和k是索引）相对于操作数（包含在和中），不保存如（24）中所述的数字下标，分别保存为I [p]，J [p]，k [p]，Dj [p]的值和Dk [p]，I，J，K，Dj和Dk是放置在外部文件中的表。在仅存在一个操作数或没有操作数的情况下，Dj[p]和Dk [p]的对应值将设置为零。当计算出值时，可以使用算法T确定其泰勒系数，该算法以相反的顺序利用前面提到的表的内容。
应该注意的是，算法T实际上使用的是四舍五入的数字，而不是实际计算中的向上数字。 在算法T本身的计算中也会发生舍入误差。
也可以通过算法确定较高阶的系数，但是所需的算法变得更加复杂，并且较高阶的存储浪费。 例如，对于二阶系数，对应于（24）的等式为（25）。
（25）
显然，用于计算二阶项的算法本质上比算法T更复杂。如果为简单起见，假设每个元素都位于单独的单元中，则可以获得下面给出的未优化的算法S。
5.Taylor系数的算法确定所需的存储和时间要求。
5.1储存要求。
如第4节所述，执行算法T来确定一阶系数的前提是，要为计算过程的n个操作中的每一个保存5个数字。外部存储可用于此目的，并且它可以是串行访问类型的，但前提是可以以相反的顺序读取它。
另外，需要m个主存储单元来保存公式（24）的必要系数，其中m是实际计算过程所利用的主存储单元的数量。辅助变量的数量可以忽略不计，因此算法T的执行大约需要5n个外部存储单元和m个内部存储单元。通常，计算过程不使用m个相应的索引单元z。因此，使用高级语言的实现需要m个额外的引用单元，每个单元都包含变量[4]的“索引”。在算法T之后提到的修改还需要m个内部存储单元如果要保存n个完成的系数，则需要n个以上的单元，通过在每个单元中打包多个信息单元，可以更有效地使用存储，但数量级保持不变。
在许多应用中，例如在逼近累积舍入误差的平均值和标准偏差[3]，[4]时，需要泰勒系数的某些函数，而不是系数本身。在这种情况下，所需的额外存储空间可以减少到一定程度。在第6节中分析了执行此操作的可能性。
当仅对于某些固定的pi表达式需要系数时，表示单个局部误差对p值的影响，则公式（8）仅具有一项。显然，公式（12a）可以与计算过程同时应用，并且只需要m个额外的存储单元即可保存系数。
如果需要二阶和更高阶的系数，那么对外部存储的需求不会增加，但是对于第h阶系数的计算，所需的主存储单元的数量大致与比例成正比。大致与n成正比的存储单元。
5.2 时间要求
为了分析执行算法T所需的时间，在表2中列出了表1中给出的计算一阶偏导数所需的算术运算。在表2中考虑了这一事实。 还列出了在算法T的步骤T5和T6中为每个原始运算执行的算术运算，特别指出了偏导数的绝对值等于1的特殊情况。
根据表2，注意到直接从步骤T4跳到TQ的可能，算法T可能会非常有效。不幸的是，这项工作并不局限于算术运算。如[6]所述，由于有效缓冲，I / O操作所需的时间并不占优势，但是也存在许多逻辑操作，替换操作以及索引确定和搜索。因此，降低实验结果就不足为奇了。算法T是使用Algol为Burroughs B6700计算机编程的。在确定和不确定一阶泰勒系数的情况下，使用Horner5s方案计算具有随机选择系数的沙度多项式的值。时间之间的比率约为20。可能通过使用较低级别的语言，该比率可以减半。在大多数应用中，该比率也将较低，因为算术算术浮点运算通常不那么占优势。
从表2可以清楚地看到，如果使用算法T来获得同一计算过程的几个中间值的泰勒系数，那么在拟议的过程中计算偏导数要比包括它们的计算要更省时。在算法T中进行修改，就像在算法T之后提到的修改中所做的那样。当频繁进行除法运算时，尤其如此，因为必须实际计算派生对象，而不是仅从表中找到派生对象。
前面我们指出，教学成果与学习成果之间不存在简单的对应关系。教学和学习的复杂性显而易见的一个地方是面向概念的教学对技能学习的影响。关于学生的概念发展的许多报告还表明，他们的技能提高的水平等于或大于对照组的学生。显然，并非只有一组教学功能可以促进技能学习，而另一组教学可以促进概念学习。在这种情况下，两种完全不同的功能似乎都可以促进技能学习。
一种解释这种观察的方法是，在两种教学条件下，技能学习的性质可能有所不同。在一种情况下，教学节奏会很快，老师会针对性地回答简短的问题，并且在课程中学生会以较高的成功率完成相对较多
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