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数学中不同的教学方法，将会导致学习者从不同形式的知识中获取学习经验，在她最近的研究中，Boaler将这个分析扩充到了“身份”的概念，并且学生不仅仅以不同形式的知识出现，并且以不同的数学方式，不同的数学身份出现。
因此，进一步支持本文的观点。没有单一形式的学校数学实践。当学习者离开学校，他们会出现学校中和教学实践相关的知识形式。他们在学校学到的数学不是数学主题或内容的集合，而是一系列的社会实践。学校的数学实践多种多样，不尽相同。然后，随之而来的是非常不同的数学图像或图片，和非常不同的数学方式。
5.课堂实践的快照，其中教学指向更加灵活的数学知识。
在上述描述的南非学校中数学和教学及学习形象中，课程变革和实际转型的巨大压力中，南非数学教育的一个严峻的挑战是如何在转变主导实践的同时产生对数学的敬畏。支离破碎和惰性的知识形式，脱离数学和意义。就像之前提到的，自从十九世纪八十年代，在全国中，数学教师教育领域出现了多个项目。从所有方面都在以各种方式支持改变课堂实践，因此改变数学实践，以及学习者在他们离开学校的时候能够带走数学图像和图片。自从1994年开始，大多数项目都变成了已成熟的项目，不再是国家改革进程之外的项目，而是国家议程的组成部分，用来支持学校中学习者发展形式更加灵活的数学知识。
在本文的其他部分，我将利用数学课堂教学的图像来说明向数学知识和教育学转变的方法。这些突出了学生对数学观点点不同可能性。我将从一个与专业发展相关的研究项目的两个快照开始，该项目与南非两个不同省份的中小学、农村和城市学校的数学教师专业发展计划有关。本研究对10名数学教师进行了为期三年的跟踪调查，这些教师都是该课程的参与者，并在他们推出课程后进行了跟踪调查。有关教师参与计划的研究报告，旨在描述教师在学习过程中选择和参与了什么（而不是他们是否以及如何以特定的方式改变了他们的做法）。作者对教师教育研究提出了批评，该研究预测了教师之间的统一学习。因此，不可避免地构建了一种教师未能“改革”实践的话语。Adler和Reed进行了演示。这是多么多样化的接受。在这种多样性中，同时，教师的参与也有一些类似的方面，阐明了改革背景下学校的教育实践。
记住Parker研究中Kwazulu-Natal省学生所画的图像，以及学生概念图中所描绘的惰性知识。Adler和Reed的研究报告中对数学课堂的快照显示了一种不同的数学课堂体验。
在这些教室里，学生们在听老师讲课的同时，也在从事数学的学习和交流。教师观察学习者在做什么，并确定需要整个课堂调节的领域（例如0的含义）。很可能是这些教室里的学生，如果被要求这样做，他们会画出非常不同的数学教室和教师的图像。
在课程改革背景下，对教师学习进行更广泛的研究，还有许多其他的价值。所有这些都超出了本文的范围。事实上，Brodie报告了更广泛研究的一部分。Lelliott和Davis揭示了学校数学实践中实质性变革所涉及的困难。
我继续讲一个8年级老师的故事。Sue，随着时间的推移，她发展了一种复杂的基于活动的数学实践。在她的课堂上，学生们对数学的思考和讨论方式与本文迄今为止所反映的截然不同。这堂课马上支持了我关于数学实践的语境化概念的论点，以及对学生学习数学的可能性的令人振奋的洞察。目前在许多国家的课堂和教育系统的课程改革进程中，这些都收到高度重视。
6.在学校数学课堂上的数学观
Sue的课堂中这段插曲的来源是上世纪90年代初，也就是种族隔离制度在南非消失之前进行的研究。就像之前所说的，南非学校改变数学课程实践的尝试可以追溯到20世纪80年代。Sue在一所私立学校教书，这所学校以其在教育和政治上的进步立场而闻名。学校资源充足，整体上支持以活动为基础的探究性学习。
作为一系列与角度和三角形相关的任务的一部分，Sue把下面框里的活动给了她8年级的学生。
在其中一个有16名学生的班级里，Sue让他们两人一组做这个任务。要求他们记录下他们的回答，并准备向全班同学展示这些回答和他们的理由。我将在这里集中讨论学生对重要任务的回答—两个钝角三角形的可能性。
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如果这些都是不可能的，解释原因，否则画出来。 |
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画一个钝角为三的三角形 画一个钝角为一的三角形 画一个有两个钝角的三角形 用反射角画一个三角形 画一个直角为1的三角形 |
然而，首先，对这项任务可能涉及的数学和教学意图进行反思是有益的，任务的数学内容要求是最透明的：要求学习者回忆不同类型的角度，然后用这些角度来探索和巩固他们对各种类型三角形属性的理解。更令人费解但清晰地嵌入到任务中的是建立数学证明，要求学习者解释为什么上面的一些情况是“不可能的”。也就是说，他们的解释需要传达为什么永远不可能是hellip;hellip;这里的响应需要适用于所有情况，而不是特定的例子。此外，该任务创造了一种期望，学生将推理、辩护和辩论，因为他们发展自己的反应；他们会用口头、书面以及图画的方式来表达他们的数学思想。因此，给学习者能够并且将会以不同的方式表达他们的想法增加了期望。
这项任务包含了一系列的数学实践，学生对图像的生成也一样，这些图像与本文前面部分所述图像有本质上的区别。任务的构建是这样的，学生们被给予了一个数学推理的理由。在这里， 我们有一个启发性的例子，在一个实践中，学校的学生面对一个“大想法”的教学。这项任务对学习者提出了高水平的数学要求，因此是促进学校数学“卓越”改革目标的一个很好的范例。
其他地区，我在这节课中详细描述了Sue的教学意图和她的教学总体情况（基于Sue的课程所参与的研究项目中的实证证据）。除了关心促进学生数学思维和工作的卓越性，Sue还关注更广泛的教育公平和学生的声音。她能组织任务和课堂互动，使所有学生都能积极地投入到学习中，并鼓励大家充分参与课堂。这一点在她让学生两人一组做作业时表现得很明显。然后要求他们把自己的想法传递给其他同学。在全班讨论中，学生们被要求对同学们的回答发表评论。这里简要地叙述了Sue的教学实践，它反映了南非和其他地方改革进程中所包含的双重要求，追求卓越和公平。高水平的数学要求是在课堂上提出的，而且是以所以学习者都能理解的方式提出的。
学生的反应。Sue在一节课的时间限制内是如何处理这些问题的，这说明了在学校里对数学的这种设想所带来的挑战，也说明了学校数学实践的可能性。
在其中一节课上，Sue的学生对“两个钝角”的问题做出了如下回答。
有人说“不可能画出两个钝角的三角形”，因为你会得到一个四边形，他们画出来
其他人的理由如下：钝角超过90度，所以两个钝角角度超过180度，因此你不能得到一个三角形，因为所有的角度加在一起要等于180度。
Joe和他的伙伴从这个方面解释：如果你以一个89度的角开始，然后你“拉伸它”，其他的角将会收缩，所以你得不到另一个钝角。他们画出
学生两人一组做回答。Sue走到教室的另一头问没对学生这样的问题：给我解释一下你在这里画了什么写了什么？你确定吗？这种情况会一直持续下去吗？她特别向Joe对拉伸其中一个角的解释是否成立，如果他从一个钝角开始，拉伸另一个角，她不相信他的回答是笼统的。
在本课的最后四分之一，个别学生自愿与全班同学分享他们的解决方案。在整个班级的公开讨论中，Sue问了全班同学一些问题，以确保所有人都坚持了每一个解释。并就各种可能的解决方案提供了支持性和鼓励性的意见。就她的数学和教学意图而言，这里的学生有很多机会巩固他们对角度和三角形类型的理解以及数学推论、辩论和交流。学生的声音在课上很明显，他们的数学思维以其多样的形式得到了很大的鼓励。
然而，证明的“大想法”是在全班公开讨论的结果上提出的。这有很多可能的原因——从一节课时间的实际限制，到数学——对证明和证明概念的数学和发展的数学要求（提供一个“适用于所有情况”的答案）。教师对证明概念的深刻理解是不够的这里需要的是管理这一概念在这个类中，类的公共数学知识可以用来证明不能有两个钝角的三角形，只能在先前的建立的三角形内角和是180度的基础上。接受两个链接的钝角的视觉表示作为证据的数字要求是不清楚的，更不用说Joe的动态解释了。
Sue所做的，然而，这并不是本文的重点，在本课程中描述学生作品的一些细节的关键点是；他们代表了一个鼓励数学推理的课堂环境。Sue的学生们所画的数学和教学图像很可能与论文早些时候描述的很不一样。如果他们要求制作概念图，他们很可能会制作出建立在概念之间的联系上的地图；这些概念是关于Sue所做的事情的讨论，以及对她教学的数学的教学要求，这些要求来自于她给学生们设定的任务类型，这是了解学校教学实践的一个窗口，在南非和其他地方的改革倡议中得到重视。
7.这些不同的快照和描述说明了什么？
在本文中，我选择了呈现一系列的图像，数学的描述和快照。在南非，数学老师和教学是学生在教室里进行的。我这样做的目的是揭示一个众所周知的事实：学校教育本质上是社会性的，因此学校教育中的教学也是社会性的，因此学校教育中的数学也是社会性的。没有一个单一的形象，数学和数学教学将出现在不同的课堂环境。或者用Boaler和Greeno的话来说，没有一种单一的数学方法可以从这种广泛的实践中产生。学校的数学实践和社会文化一样多样化，在政治和经济环境中发挥作用。
教育社会学领域描述和解释了学校实践的社会性质及其对学习的影响。再次，我从这一领域的两篇文章中进行了简要地概述。以便突出本文的理论方向。第一个是Basil Bernstein颇具影响力的著作，他对教与学话语的描述为理解学科知识如何被教育学实践的需求转化（用他的话说是重新语境化的）提供了工具。
Basil Bernstein解释说，在任何教学实践中，总是有两种不同但互相交织的话语在起作用；教学话语转向学科知识，以及顺应学校教学需要的规范话语，他从理论和实践上论证了，由于公众对教育的需求，以及教育在任何社会的主导社会政治秩序中的地位，规范话语是如何对教育话语的性质进行过度决定的，它将教学话语至于道德和公共义务之下。
关于本文所讨论的各种数学图像或图像推理，Basil Bernstein对教学话语的描述表明，数学在任何课堂上的形成，都是数学本质的一部分，也是教育代码的一部分（如果不是更多的话）。不同背景下的学校教育将导致不同的社会实践，也将导致学生离开学校学的数学形象和数学教学。
从国家内部的角度看，Alexander在他的著作《文化与教育学》中深刻的捕捉到了学校教育的社会性，Alexander比较了五个不同国家英国，美国，俄罗斯，法国和印度的基础教学和学习(教育学）。他表现得很严谨，教学方法和文化是如何在学校教学实践中相互影响的，他的研究彻底说服了任何对教育学的分析，以及对学校教学的分析，都只能通过插入其中的文化形态来充分。
Basil Bernstein和Alexander都帮助解释了为什么在学校数学的背景下，数学实践的去文本化概念没有什么意义，学生们随身携带的数学图像必然是多样化的，反映了他们所学的文化和背景。
8.后记：对数学教育的启示。
我想总结一下这篇论文，就像我做的演讲一样，在当前数学教育改革席卷全球的大背景下，对学校多远数学实践概念的内涵进行了一些探讨。
在南非，各级数学教师，特别是一年级至九年级的数学教师都在按照新课程的要求从事教学工作，他们每天都面临着卓越和公平这两个引人注目的目标，许多人叫将证明，他们正在努力实现所期望的那种数学推理。同时，国家和省级教育部门的官员以及国家教育政策工作者，观察了他们认为教师数学背景的不足之处，一方面“课程简化”的论述，另一方面，教师在数学方面的不足渗透到南非的政策和政治论述中，许多数学家也以同样的方式理解正在发生的教育变革。
这里我想维护的，是数学要求“卓越和公平”，高级数学思维，一个重视“大想法”在数学中（如在Sue的反应）设定的单一任务不是教师准备和发展计划的典型表现，它们也不是纯数学课程中关注的焦点，对数学研究不够深入，我们还有很多工作要做，来实现那些现在被学校重视的数学实践，教学工作中体现出他们了解数学是并且需要成为一种特殊的学科，一种在学校教育的约束下，与教学的需要相协调的学科。
数学教学工作的问题，数学实践的概念，以及更好的理解这些在不同的课堂上是什么，是与所有与数学相关的人的任务，哲学家和教育家都一样。
致谢
本文的介绍形式是在国际数学教学会议上提出的《数学实践透视》，2002年10月24至26日科学与逻辑分析，比利时布鲁塞尔大学。
参考文献。
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