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基于二维复值Gabor小波的图像分解与重构
摘要：提出了一种基于Gabor小波的图像分解与重构方案。Gabor函数已经被广泛的应用在对人类视觉系统由于其在空间和带限性质定位相关领域。然而，由于标准的双边Gabor函数是不正交的，导致接近Gabor矩阵，它们已被用于图像的分解和特征提取，而不是在图像重建。在试图减少奇异性的Gabor矩阵，并产生可靠的图像重建，在本文中，我们表明，一个单面Gabor函数可以做到这两个，重建残差是非常小的（PSNR至少300分贝）。
i介绍
认知机器和系统的发展[ 1 ]需要认知信息学[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]。这方面的开发工作的很大一部分包括感性和认知过程的表征。为了研究认知过程，从自然或人工认知系统的变量可以被记录为定量的时间序列，或图像，或视频。因此，客观和具体的认知行为的表示可以提取的时间序列，通过信号处理的工具。这种方法的例子包括运动分析来描述行为非习惯的 [ 5 ]，或压缩和重构图像质量最高的知觉和认知。
在一般情况下，小波可以分为两种类型：实值和复值。使用复值小波有一些好处。Gabor小波是目前应用最为广泛的复小波。半个多世纪前，Gabor [ 10 ] [ 11 ]开发了一个系统，用于减少传输信号所需的带宽。自那时以来，Gabor函数已被用于在不同的研究领域，如图像纹理分析[ 12 ] [ 13 ]，图像分割[ 14 ] [ 15 ]，运动估计[ 16 ]，图像分析[ 12 ]，信号处理[ 18 ]，和人脸认证[ 20 ]。需要注意的是，这些领域大多依赖于分析和特征提取，而不是重建。
1977，Cowan提出，由于视觉的机制是有效的带限和局部空间，Gabor函数适用于其表示[ 21 ]。其他研究[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]断言，Gabor函数也很好地代表简单的皮层细胞的特性，并提出了这样的细胞的可行的模型。调查“眼睛看什么最好”，沃森等人。已经证明，二维Gabor函数的模式是最佳的[ 26 ]。Gabor函数的主要困难是，它们不是正交的。因此，没有简单的技术可用于提取系数。本文在克服Gabor函数困难的分析方法上的新颖性。本文还演示了它的用处，不仅通常的分解，但也重建静止图像。
II Gabor分解
a.表示法
一维（ID）数字信号的量化，T表示转置。这样的信号也被视为周期序列的整数Z。如果U k样本表示为U K或者u（k），我们可以得到
u的范数定义为欧氏范数
为了把它与信号的能量联系起来。
两个信号u和V的内积定义为Vi表示V的共轭。
B. Gabor变换的矩阵形式
对于一个给定的ID信号S，Gabor展开（也被称为Gabor小波级数）表示的Gabor函数（母小波）通过时间和频率，即
g是在讨论中的Gabor初等函数。2 d和C（I）是I系数。在矩阵符号中，上面的展开可以写成
在信号的Gabor向量s，矩阵G和C被赋值
在一个二维（2D）的情况下，一个二维信号（例如，一个图像）的扩展到一组2D初等函数给出
在矩阵符号中，如果二维初等函数是可分离的，则二维展开可以写成其中S是二维数据矩阵，C是二维膨胀系数矩阵
和Gi是相同的Gabor矩阵所定义的（2.7）。
C.旋转调制算子
对于任何信号u，信号V被称为循环旋转u与旋转编号R如果下面持有在9tr与旋转数R旋转算子.
信号u的调制（或频率转换）是信号W定义为
其中SK是调制算子与频率k,它可以显示每个信号U和I 值其中f表示傅立叶变换运算符定义为
基于这两个算子，Gabor矩阵可以重写成一个更方便的形式，如在下一节中所述。
D.Gabor基
考虑下面定义的Gabor母函数G
参数a在时间域中决定高斯尺度。分解矩阵L的Gabor矩阵G，然后定义为 向量被扩大使用Gabor基。应该指出的是，G矩阵的大小为Mtimes;N，其中的大小Gabor母函数是GC，如果n＞m，未知系数C的人数（2.5）多于方程数。因此，应定义一个标准，以找到最佳的解决方案的关系（2.5）。最常用的方法是最小二乘误差准则。因此，一个一维解（2.5）是向量C = C，最大限度地减少目标函数（GC - S）T（GC S），并可以发现
E.奇点
（2.18）中定义的Gabor函数G与中心点对称。因此，Ntimes;N矩阵问题总是不能倒可以奇异奇异。为了避免矩阵求逆问题，可以采用奇异值分解。SVD指出任何mxn矩阵A可以分解为一个mtimes;n列正交矩阵U的产品，一个NxN矩阵W的正数或零的元素，和转置一个NxN矩阵V可以写成 ,A的倒数被定义为在2D情况下，（2.10）的解由SVD也可以应用于这种情况，并且解决方案
是
如果矩阵A是奇异的或几乎奇异的，对角矩阵W将在其对角线上包含零或非常小的值。因此，要反转矩阵，非常大的相关元素应被替换为零。然而，这种近似影响重建的结果，并产生低值的峰值信号噪声比（PSNR）的重建图像。在下一节中，我们将介绍一种方法来克服这个问题。
F.单面Gabor重建
典型的Gabor函数及其对应调制信号如图1所示。 图1a和图1b。 自从Gabor矩阵
G从这样一个双边母亲Gabor开发的功能就是非常接近单数（如上一节所述），a
单面Gabor功能（如图1c和图1d所示）用来强迫Gabor矩阵不再是单数。因此，单面Gabor功能可以用于分解和重建图像来克服双边Gabor小波存在奇异问题分解和重建。
III实验结果
在MATLAB中实现了图像的单边Gabor分解和重建算法。莱娜的图像作为测试图像（图）。这个图像包含了一个很好的混合细节，平坦区域，阴影和纹理。因此，它是一个很好的图像
来测试各种图像处理算法，特别是图像重建。 图1。双边Gabor函数：（一）母函数，（b）调制函数，单边Gabor函数，（c）母函数，和（d）调制函数。
图2.Lena图像用作测试图像。
Gabor矩阵G（2.19）具有真实和复杂的成分。两者都依赖于旋转数（L）。真正的和想象的形式的Gabor矩阵G的灰度级图像与一个两级分解（L = 2），四级分解（L = 4）和八级分解（L = 8）如图所示。请注意，值已在0到255之间缩放。从这些数字可以看出，白色带的数目对应的旋转数（L）。可以证明，这个数量决定分解子图的数量。考虑到Gabor矩阵G乘以图像矩阵从左、右（2.10），预计有四子有一个结果，每一个类似于原始图像。应用单边Gabor分解和重建技术的图像的结果。在L = 2的情况下，两个测试图像的Gabor分解的实部和虚部如图4所示。正如预期的那样，每一个真实和想象的图像有四子。相应的重建图像使用（2.23）如图4所示。一个非常高的PSNR的重建图像的实现，与313.01分贝和311.83分贝的测试图像
是在均方误差定义使用下面的公式
图3Gabor矩阵的真实和虚构结构FiL = 4i和L = 8rG，其中L = 2，L = 4和L = 8。
相应的残差误差如图1所示。 4也表示非常好的重建，因为没有可见
显示分解和重建结果在图1中。 5（L = 4）， 6（L = 8）。 再次，残余
错误似乎随机分布，不显示原始图像中对象的轮廓。 这证实了Gabor变换适用于分解和
为人类视觉系统（HVS）重建图像。相应的残差图4也显示了很好的重建，没有明显的部分匹配原图。分解和重构的结果硬件图5（L = 4）和图6（L = 8）。再次，剩余的错误似乎是随机分布的，而不显示原始图像中的对象的轮廓。这证实了适合的Gabor变换的人类视觉系统（HVS）的图像分解和重建。
图4。Gabor分解的测试图像与L = 2，（a）的分解图像的真实部分，（b）的分解图像的虚数部分，（c）重建图像，和（d）残余误差。
图5。Gabor分解的测试图像与L = 4，（a）的分解图像的真实部分，（b）的分解图像的虚数部分，（c）重建图像，和（d）残余误差。
图6。Gabor分解的测试图像与L = 8，（a）的分解图像的真实部分，（b）的分解图像的虚数部分，（c）重建图像和（d）残余误差。
IV 结果
使用复值小波有显着的好处。它已被证明，因为视觉机制确实有效的带限和局部空间，Gabor函数适用于其表示。尽管所有的Gabor函数的良好功能，其主要缺点是缺乏正交性。因此，没有简单的方法可用于提取系数。在本文中，使用单边Gabor函数的静态图像分解和重建的分析方法。实验结果表明，可以实现完美的重建与PSNR超过300分贝。
图6Gabor使用L = 8分解测试图像，
- 分解图像的实部，（b）虚部分解图像，（c）重建图像和（d）残差
致谢
我们承认这项研究的财务支持电信研究实验室（TRLabs）和国家科学与工程研究理事会
（NSERC）。
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